ГЛАВА II. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНЫХ СПИНОВ

Основная задача ядерного магнетизма состоит в описании поведения свободного спина в однородном магнитном поле. Свободный спин представляет собой систему, обладающую механическим 1% и магнитным моментами. Эта задача будет рассмотрена сначала классическими затем квантовомеханическими методами.

§ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Согласно классической теории электромагнетизма, на магнитный: момент М, находящийся в поле Н, действует вращательный момент равный скорости изменения соответствующего механического момента. Поскольку движение магнитного момента описывается уравнением

Для решения последнего удобно перейти к вращающейся системе координат, использование которой в теории магнитного резонанса оказывается очень полезным. Пусть система координат, вращающаяся по отношению к лабораторной системе координат с угловой скоростью со. Известно, что производная любого зависящего от времени вектора вычисленная в лабораторной системе координат и его же производная вычисленная в подвижной системе координат связаны соотношением

Комбинируя (II.1) и (II.2), получаем, что движение магнитного момента во вращающейся системе координат описывается уравнением:

Оно имеет такой же вид, что и уравнение (II.1). Если заменить магнитное поле Н в (II.3) на эффективное поле равное сумме внешнего поля Н и некоторого фиктивного поля то уравнение (II.3) совпадает с (II.1).

Рассмотрим вначале постоянное во времени поле Если угловую частоту вращающейся системы координат выбрать равной то эффективное поле Не будет равно нулю. В этой системе координат и вектор магнитного момента оказывается неподвижным. Следовательно, по отношению к лабораторной системе координат он прецессирует с угловой частотой которая называется ларморовской частотой прецессии спина во внешнем поле Величина всегда положительна, а у может быть как положительным, так и

отрицательным. Измеряя ларморовскую частоту при известном поле можно определить значение у, или наоборот.

Выберем единичный вектор к оси в лабораторной системе координат параллельным и предположим, что общее поле Н представляет собой сумму постоянного поля и поля перпендикулярного и вращающегося вокруг него с угловой частотой . Если единичный вектор оси х во вращающейся системе координат направлен вдоль поля то эффективное поле в системе постоянна и определяется выражением

Пусть причем величина положительна, и имеет тот же знак, что и у.

Величина эффективного поля Не определяется выражением

где

Значение угла между векторами изменяющегося от 0 до однозначно определяется равенствами

Во вращающейся системе координат движение магнитного момента М представляет собой ларморовскую прецессию вокруг направления эффективного поля Не с угловой частотой . Его движение в лабораторной системе координат является сочетанием этой прецессии с вращением относительно вокруг с частотой .

Если в момент времени магнитный момент ориентирован вдоль , то в момент времени угол а между ними будет определяться равенствами

До сих пор не было сделано никаких предположений об относительной величине Практически часто оказывается гораздо меньше Тогда из (II.6) и (II.7) видно, что и, следовательно, а остаются очень малыми до тех пор, пока разность не станет сравнимой с Это и есть явление резонанса. Вращающееся поле малое по сравнению с постоянным полем может заметно переориентировать, магнитный момент только в том случае, если его частота вращения со близка к ларморовской частоте Ширина резонанса, т. е. значение разности при уменьшении которой эффект становится заметным, имеет порядок

Прежде чем переходить к квантовомеханическому рассмотрению задачи, нужно отметить, что на практике обычно применяется не вращающееся, а осциллирующее поле. Линейно поляризованное поле

может рассматриваться как суперпозиция двух полей амплитуды вращающихся в противоположных направлениях с угловыми частотами . Если то влияние вращающегося поля на магнитный момент пренебрежимо мало, до тех пор пока частота его вращения не станет близкой к частоте ларморовской прецессии . Но тогда влияние компоненты поля, вращающейся с частотой , т. е. отличающейся от резонансной на настолько мало, что обычно не принимается во внимание.

Влияние поля, вращающегося в противоположную сторону, может быть учтено в самом первом приближении с помощью следующих элементарных рассуждений. Предположим, что компонента осциллирующего поля с частотой настолько отлична от что

Фиг. 1. Схема, иллюстрирующая выбор системы координат.

Во вращающейся с частотой системе координат внешнее поле и постоянная (в этой системе координат) компонента радиочастотного поля могут быть заменены большим эффективным постоянным полем (фиг. 1)

образующим с малый угол причем . В этой системе координат остающаяся вращающаяся компонента представляет собой сумму трех полей: осциллирующего поля, параллельного с частотой и амплитудой поля, вращающегося в плоскости, перпендикулярной Не, с частотой и амплитудой и очень малого поля с амплитудой вращающегося с частотой Если пренебречь влиянием поля, параллельного Не, то резонансным условием для этих двух вращающихся компонент будет или

Одно из решений уравнения (II.8) для в первом приближении имеет вид

Относительный сдвиг резонансной частоты равен Теоретически существование этого сдвига впервые было установлено в работе [1]. Вторым приближенным решением уравнения (II.3) будет

Таким образом, имеется второй резонанс для частоты, равной приблизительно одной трети ларморовской частоты спина. Этот резонанс значительно слабее, чем основной, вследствие того, что величина вращающегося с частотой поля равна

Более тщательный расчет показывает, что существуют резонансы более высоких порядков для где любое целое число. Наличие этих дополнительных резонансов было показано теоретически [2] и обнаружено экспериментально [3] в опытах по оптической подкачке. Для отношений обычно встречающихся в ядерном резонансе, эти эффекты очень малы, и в дальнейшем мы будем ими пренебрегать.