в. Основное уравнение для матрицы плотности

Будем исходить из уравнения движения для матрицы плотности о системы

где гамильтониан возмущения стационарный случайный оператор. В представлении взаимодействия, учитывая, что

уравнение (VIII.28) приводится к виду

Интегрируя последнее уравнение методом последовательных приближений вплоть до второго порядка, получаем

откуда, беря производную по времени, найдем

или, вводя в интеграл новую переменную

Поскольку (0 — случайный оператор, то, согласно уравнению (VIII.32), случайным оператором будет и а. Тогда наблюдаемое поведение статистического ансамбля систем будет описываться средним оператором плотности а, который удовлетворяет уравнению, полученному путем усреднения уравнения (VI 11.32) по ансамблю всех случайных гамильтонианов Всегда можно предположить, что ибо все усредненные матричные элементы отличные от нуля, могут быть включены в определенный иначе невозмущенный гамильтониан Кроме того, можно сделать следующие предположения:

а) можно пренебрегать корреляцией между при усреднении (VIII.32) и усреднить их независимо;

б) из а) следует, что можно заменить в правой части (VIII.32);

в) можно распространить верхний предел интеграла (VIII.32) до

г) можно пренебрегать всеми незаписанными членами более высоких порядков в правой стороне (VIII.32).

Доказательство справедливости этих предположений для ограниченного класса систем, основанное на малости времени корреляции гамильтониана будет обсуждаться ниже. Можно отметить, что четыре сделанных выше предположения используются (хотя редко формулируются явно) также при обычном выводе систем (VIII.25), которая соответствует специальному виду матрицы плотности, коммутирующей с невозмущенным гамильтонианом Используя рассматриваемые предположения и опуская черту над а, которая впредь будет, ставиться для усредненной матрицы плотности, уравнение (VIII.32) мы перепишем в виде

Переписывая (VIII.33) в матричной форме в представлении, в котором основные состояния являются собственными состояниями невозмущенного гамильтониана с собственными значениями после простых вычислений получим

Здесь вследствие стационарного характера случайного гамильтониана коэффициенты не зависят от времени.

Согласно уравнению (VIII.33), в отсутствие возмущающего гамильтониана матрица плотности а не будет зависеть от времени, и так как этот гамильтониан отвечает малому возмущению, то а медленно изменяется со временем.

В соответствии с проведенным выше обсуждением [см. (IV.23)] влияние членов с быстро меняющимися экспонентами на а должно быть незначительным по сравнению с влиянием секулярных членов, для которых поэтому при суммировании в (VIII.34) можно ограничиться только последними. Тогда система дифференциальных уравнений (VIII.34) становится системой с постоянными коэффициентами и представляет собой обобщенное основное уравнение

где суммирование ограничивается состояниями с энергиями удовлетворяющими условию

Как и в специальном случае, когда взаимодействие с решеткой описывается квазиклассически [рассматривается как случайное возмущение (VIII величину следует заменить на где

В дальнейшем будет показано, что во всех линейных уравнениях для о или о на самом деле вычисляются или Кроме того, станет ясным, каким образом квантовомеханическое описание решетки позволит нам избежать этого, сделанного предположения.

Легко показать, используя условие (VIII.36), что если все недиагональные элементы , соответствующие различным значениям энергии обращаются в нуль в момент времени , т. е. если оператор плотности а коммутирует в момент с основным гамильтонианом то оператор а будет коммутировать с и в любой более поздний момент времени. Это замечательная особенность, так как случай, когда а (или а) не коммутирует с соответствует существованию фазовой когерентности внутри системы, и нельзя ожидать, что такая когерентность может быть введена в систему благодаря взаимодействию, описываемому случайным гамильтонианом.

При вырождении основного гамильтониана два разных собственных состояния могут иметь равные энергии Тогда матричные элементы и коэффициенты вида не определяются однозначно. Как можно убедиться, предыдущее утверждение о том, что все недиагональные элементы обращаются в нуль для если они равны нулю в момент может быть распространено на указанный случай подходящим выбором основных состояний . Если все недиагональные элементы равны нулю, то обобщенное основное уравнение (VIII.35) сводится к основному уравнению (VIII.25) для населенностей.

Переход от уравнений (VIII.35) для а к уравнениям для о очевиден; для этого достаточно к правой части (VIII.35) добавить член — и заменить везде а на а.

Мы не будем выписывать коэффициенты в явном виде. Их можно легко получить из уравнения (VIII.33) или из операторной записи основного уравнения (см. ниже).