§ 5. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ
Основной недостаток метода моментов состоит в том, что важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее, чем выше момент) дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте
исключить вклады от сопутствующих линий на частотах
о которых упоминалось ранее. Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность (благодаря удаленности от центральной частоты
их вклад во второй момент сравним с вкладом от главной линии, и тем больше, чем выше порядок момента. Для исключения вкладов от них следует рассматривать в гамильтониане возмущения
ответственного за уширение, только его секулярную часть которая коммутирует с
следовательно, не может отвечать перемешиванию состояний с различными полными
такое смешивание является причиной появления побочных линий. Таким образом, сокращение дипольного гамильтониана до его секулярной части
не только упрощает вычисление моментов, но и делает его более точным.
Прежде чем начать расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты
Убедимся в правильности этого утверждения. Если
и
— два собственных состояния
с разностью энергии
то два состояния
полученные из
соответственно путем поворота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями
Таким образом, каждому переходу с частотой
соответствует переход равной интенсивности с частотой
Если
— функция формы, то
— четная функция
. Поскольку моменты кривой пропорциональны производным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (IV.13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины со в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается
так же как и
Тогда, поскольку
— нормированная функция формы, (IV. 13) может быть переписано в виде
где постоянная
определяется из условия нормировки
, а определенная ранее четная функция
равна
Обратно
Согласно вышеизложенному, в выражении
следует вместо
подставить
что значительно упрощает вычисления. Поскольку
и коммутируют, можно
записать
Учитывая, что зеемановский гамильтониан
равен
функцию
можно переписать в виде
Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому
В этом выражении оператор
определяет поворот на угол
вокруг оси
, и, следовательно, можно записать
Легко видеть, что второй член в (IV.29) равен нулю, так как поворот спинов на 180°, например вокруг оси
не изменяет и
но преобразует
Заменяя в (IV.27)
на
где
называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение
получаем
Заменяя нижний предел на
что допустимо для узких линий, найдем
Поскольку
является четной функцией, второй интеграл равен нулю и
Различные моменты кривой распределения
относительно резонансной частоты
определяются выражением
Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой
Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточна разложить
в выражении (IV.30) по степеням
При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от и
Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпурок не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены, например, в представлении, где значения
отдельных спинов (поэтому представление называется
-представлением) являются хорошими квантовыми числами. Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний
полного гамильтониана. Из определения (IV.30) функции
вытекает, что значение ее
производной в момент
определяется выражением
Формула (IV.32) просто находится из дифференциального уравнения
которому удовлетворяет зависящий от времени оператор
Решение этого уравнения может быть представлено в виде ряда
отдельные члены которого получаются методом индукции с помощью соотношения
из последнего сразу же следует (IV.32). Из (IV.31) и (IV.32) для первых двух четных моментов находим
В (IV.34)
заменено полным спином
пропорциональным
Поскольку мы определили гамильтониан в виде следует помнить, что эти моменты соответствуют ширинам линии, измеренным в единицах