§ 3. УРАВНЕНИЯ БЛОХА ДЛЯ «ПРОСТОЙ» ЛИНИИ

Рассмотрим систему спинов с гамильтонианом энергетическими уровнями и энергетическими состояниями и предположим, что среди последних существует два состояния и с разностью энергий

отличной от любой другой разности энергий Такую пару состояний будем кратко называть «простой» линиёй. Задачи, связанные с простыми линиями, уже рассматривались в настоящей книге. Так, в гл. II была рассмотрена система спинов, характеризующаяся простой линией, которая не взаимодействует с другими спиновыми системами или решеткой и подвержена синусоидальному возмущению частоты лежащей в окрестности Такая система описывалась с помощью двухрядной матрицы плотности не учитывающей других энергетических уровней системы.

Записывая а как где — фиктивный спин с-вектор, мы нашли уравнение

где составляющие с-вектора могли быть вычислены из матричных элементов гамильтониана системы спинов. Было рассмотрено несколько примеров, свидетельствовавших о полезности такого формализма.

Для спиновых систем, которые характеризуются простой линией и связаны с «жидкостью» и для которых было установлено основное уравнение с релаксационными членами, в общем случае приведенные простые выводы несправедливы. Задача свободного движения и свободного затухания для таких систем была рассмотрена в гл. VIII и IX. Если система выводилась из теплового равновесия (например, радиочастотным импульсом), ее возвращение к равновесию описывалось с помощью зависящих от времени составляющих матрицы плотности (или в представлении взаимодействия). Показано, что изменение недиагональных

матричных элементов для одной линии определяется одной затухающей экспонентой

где постоянная определяемая формулой является обратной величиной ширины 6 со простой линии в очень слабом радиочастотном поле.

С другой стороны, временная зависимость диагональных матричных элементов более сложная, поскольку, как показано в гл. VIII, их изменений связано с изменением всех других диагональных матричных элементов сгаа. Для этих элементов нельзя определить одну постоянную затухания аналогичную затухание описывается суммой нескольких экспонент. Рассмотрим теперь движение системы спинов с простой линией в присутствии радиочастотного возмущения с частотой в окрестности Будем предполагать, что как так и величина возмущения (измеренная в единицах частоты) малы по сравнению со всеми разностями Предположим, что время корреляции достаточно мало и что основное уравнение для матрицы плотности системы спинов можно записать в виде

где

А — число степеней свободы системы спинов, Релаксационный член в правой части уравнения (XII.33) определяется формулой (VIII.35)

В частности, для простой линии имеем

Для диагональных элементов сгаа получаем равенство

где — вероятности перехода в единицу времени. В приближении высоких температур уравнение (XII.34а) является другой формой записи уравнения (VIII.266).

Оператор зависящего от времени возмущения частоты будучи эрмитовым, может быть записан в виде

Введем

а также приведенную матрицу плотности удовлетворяющую уравнению

Будем искать стационарное решение уравнения (XII.36) с постоянными диагональными элементами недиагональнымй матричными элементами изменяющимися со временем, как Исследование этого уравнения показывает, что если близка к то единственными недиагональными матричными элементами, которые не очень малы, будут следующие:

Беря матричные элементы от обеих сторон операторного уравнения (XII.36), получим, используя (XII.34) и (XII.35а), следующие уравнения для

Здесь для удобства при опущены индексы

Сначала предположим, что гамильтониан возмущения а следовательно, и величина весьма малы. В этом случае можно считать, что населенности и имеют значения, соответствующие тепловому равновесию, а и (отклонения от этих величин) равны нулю. Из (XII.37) получим

Если не очень мало, то для определения нужно вычислить другие матричные элементы а. Рассматривая матричные элементы и в (XII.36) и используя (XII.34а), найдем

Наконец, беря матричные элементы в (XII.36) при а , получаем систему уравнений

где , и уравнение

которое означает, что

Из системы (XII.37)-(XII.40) можно найти различные матричные элементы Один из способов их получения состоит в нахождении из (XII.37) и подстановке его в (XII.38), которое тогда принимает вид

где

— знакомая вероятность перехода в единицу времени, индуцированного радиочастотным возмущением (XI 1.35) частоты причем частота перехода равна а форма линии является лоренцевой с шириной Выражение

определяет разность населенностей уровней и соответствующих тепловому равновесию. Уравнения (XII.38)-(XII.40) совпадают с теми, которые обычно применяются для вычисления равновесных населенностей системы спинов, находящейся под действием радиочастотного возмущения.

Приведенное вычисление показывает, что обычное рассмотрение, при котором не учитывается когерентность радиочастотного поля, поскольку это поле проявляется только через вероятности переходов, действительно правильное. Такой вывод уже был сделан в гл. II для частного случая релаксации, обусловленной сильными столкновениями.

Когерентность радиочастотного возмущения проявляется благодаря присутствию отличных от нуля недиагональных элементов . Для их вычисления перепишем систему (XII.38) — (XII.40) в виде

где Эта неоднородная система линейных уравнений с А неизвестными величинами имеет единственное решение, которое может быть записано в виде где постоянные Та и функция не зависят от радиочастотного поля. Подставляя в (XII.37) (и им комплексно-сопряженные), получаем два линейных уравнения для и из которых найдем

где . При выражение (XI 1.43) переходит в (XI 1.37а), как и должно быть.

Исследование системы (XII.42) показывает, что величина положительная. Действительно, из третьего уравнения (XII.42) следует, что как наибольшее, так и наименьшее значения не могут отличаться от или Предположим для определенности, что . Из первого уравнения (XII.42) видно, что — наибольшая величина из Тот же результат получим, если примем тем самым мы подтвердили сказанное выше. Для разности получим

Выражения (XII.43) и (XII.44) очень похожи на стационарное решение уравнений Блоха, определяемое формулами (III.15). Рассмотрим систему уравнений Блоха

Можно показать, что между их стационарными решениями, определяемыми выражениями (III. 15) и формулами (XII.43), (XII.44), существуют следующие соотношения:

Эти соотношения становятся тривиальными, если два уровня и принадлежат одиночному спину находящемуся во вращающемся поле.

Таким образом, установившееся поведение простой линии (но не в переходном процессе) может быть описано системой уравнений типа Блоха, где характеризует ширину простой линии, а роль времени продольной релаксации играет величина Этот метод мсвкет быть применен, например, для исследования свойств, описываемых обобщенными временами продольной релаксации различных компонент мультиплета при насыщении. Вычисление времен поперечной релаксации для мультиплетов описано в гл. XI, § 9.