ДОПОЛНЕНИЕ
§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СООТНОШЕНИЙ КРАМЕРСА — КРОНИГА
Соотношения (III.8а) между действительной и мнимой частями комплексной восприимчивости 
являются достаточно общими
и применимы не только к ансамблям ядерных спинов, но и ко многим другим системам. Рассмотрим физическую систему 
на вход которой поступает зависящее от времени возбуждение 
а на выходе наблюдается реакция системы 
могут быть физическими величинами одинаковой или различной природы. В ядерном магнетизме 
магнитное поле, 
намагниченность, но можно представить себе много других примеров: 
электрическое поле и 
— электрическая поляризация; 
входное и 
— выходное напряжения; 
первичный поток частиц, падающий на рассеивающее вещество, и 
— рассеянный вторичный поток и т. д.
Само определение 
предполагает, что реакция на монохроматическое возбуждение 
является монохроматической. Чтобы доказать соотношение Крамерса — Кронига (III.8а), сделаем несколько общих предположений, которым должны удовлетворять рассматриваемые нами системы 
1. Системы S линейные. Мы подразумеваем под этим следующее: если 
— реакции на возбуждения 
то реакция на возбуждение 
будет 
Следовательно, насыщение неявно исключается.
2. Системы S стационарные. Если 
— реакция на 
, то реакция на 
будет 
. Условие монохроматической реакции на монохроматическое возбуждение следует из предположений 1) и 2). Пусть 
- реакция на единичное импульсное возбуждение 
, согласно 
— реакция на 
Монохроматическое возбуждение 
можно записать в виде
и реакция с учетом предположений 1) и 2)
действительно монохроматична и имеет ту же частоту.
3. Системы S подчиняются принципу причинности. Если 
для 
то 
для 
Это предположение является ключевым для доказательства справедливости соотношений Крамерса — Кронига. Оно предполагает, в частности, что вещественная функция 
описывающая реакцию физической системы на вещественное возбуждение 
не существует при 
Отсюда следует, что равенство (111.85) можно записать в виде
откуда по определению X
и
4. Полная реакция на конечное полное возбуждение конечна. Определим полное возбуждение и полную реакцию выражениями
Предположение 4) требует, чтобы 
была ограниченной, если 
ограничено. Из 4) сразу же следует, что интеграл 
ограничен. Однако отсюда нельзя сделать вывод, что 
не имеет особенностей, так как в простейшем случае, когда 
Тем не менее можно показать, что 
когда 
ибо в противном случае интеграл 
расходился бы. Из физических соображений следует, что мнимая часть 
становится равной нулю, когда со стремится к бесконечности, так как в противном случае происходило бы бесконечное поглощение энергии системой. Легко проверить, что это действительно так
Аналогичный расчет показывает, что 
не обязательно должно стремиться к нулю. Это можно было ожидать, поскольку в простейшем случае, когда 
для всех частот возбуждения 
Функция 
где 
определяется выражением
представляет собой комплексную функцию вещественной переменной со, равной нулю по обе стороны от действительной оси. В соответствии с общей теоремой теории аналитических функций комплексного переменного функция 
где комплексная переменная z заменяет 
в (III.86а), является на полуплоскости 
регулярной аналитической функцией переменной 2. Для справедливости этого утверждения существенно, что интеграл (111.86а) берется только по положительным значениям 
последнее является следствием принципа причинности. Тогда, применяя теорему
Фиг. 21. Контур интегрирования.
вычетов к функции
для контура, показанного на фиг. 21, найдем
Отделяя друг от друга вещественную и мнимую части (111.87), находим
Это и есть соотношения Крамерса—Кронига в форме (III.8а), наиболее удобной для изучения ядерного магнетизма. С учетом того, что 
— четная, а 
— нечетная функции, эти выражения иногда переписывают в виде
В качестве частного примера рассмотрим систему с монохроматическим поглощением
Из выражений (III.88) следует
Последнее выражение является реакцией незатухающего гармонического осциллятора на периодический сигнал. Можно было бы, исходя из (III.89) и (III.89а), получить в предельном случае выражение для реакции медленно затухающего осциллятора и использовать эти выражения как отправную точку для демонстрации справедливости соотношений Крамерса — Кронига.
