§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ

Механизм релаксации, обусловленный скалярным взаимодействием (IX.1), можно представить себе следующим образом. Взаимодействие вызывает одновременные переворачивания электронного и ядерного спинов в противоположных направлениях; энергия электронная и ядерная ларморовские частоты), требуемая для такого переворачивания, обеспечивается за счет изменения кинетической энергии электрона. Из статистики Ферми, которой подчиняются электроны проводимости в металле, вытекают два следствия, которые одинаково важны для ядерного релаксационного механизма. Во-первых, средняя кинетическая энергия электронов много больше, чем тепловая энергия и того же порядка, что и энергия Ферми , во-вторых, вследствие принципа Паули, большинство электронов проводимости не могут получить или отдать даже малую энергию Поэтому вклад в ядерные релаксационные процессы дает только часть электронов, находящихся на границе распределения Ферми. Вероятность переворачивания ядерного спина по порядку величины может быть вычислена следующим образом. Электронное поле, создаваемое электроном проводимости в месте расположения ядра, можно рассматривать как флуктуирующее локальное поле со временем корреляции Если мы примем в среднем один электрон проводимости на атомный объем, то время грубо определяющее продолжительность, в течение которой электрон проводимости может быть локализован в окрестности данного атома, согласно квантовомеханическим представлениям, по порядку величины равно где — энергия Ферми.

Для случайных возмущений с очень коротким временем корреляции вероятность перехода имеет порядок поэтому находим

Эта формула правильна с точностью до числового коэффициента порядка единицы. Здесь — электронная волновая функция, нормированная на единицу в атомном объеме, а коэффициент учитывает уменьшение в силу принципа Паули числа электронов проводимости, которые принимают участие в релаксационных процессах.

Произведем теперь более точное вычисление. Предположим, что ядерный спин I равен и что внешнее поле достаточно велико для того, чтобы энергия ядерного спин-спинового взаимодействия была пренебрежимо мала по сравнению с ядерной зеемановской энергией. Тогда процесс установления равновесия ядерной намагниченности, скорость которого пропорциональна разности населенностей состояния очевидно, может быть описан одной экспонентой и для спиновой системы может быть определено одно-единственное время релаксации.

Предположим, что время релаксации электронов достаточно велико для того, чтобы считать их спины находящимися постоянное тепловом равновесии с решеткой, и что температура достаточно велика, чтобы электронная зеемановская энергия была много меньше . При этих предположениях электроны с различной ориентацией спинов имеют приблизительно одну и ту же функцию распределения Ферми:

Вероятность того, что электрон совершит переход из состояния с кинетической энергией Е в состояние с энергией Е, должна быть пропорциональна множителю последний представляет собой вероятность того, что до перехода начальное состояние занято, а конечное свободно. Если переходы таковы, что происходят одновременные электронно-ядерные переворачивания спинов, то изменение кинетической энергии очень мало. Тогда законно предположение может быть записано в виде

Последнее приближенное равенство в (IX.3) связано со следующим обстоятельством: для много большего практически совпадает с хэви-сайдовской единичной ступенькой (со знаком минус), а ее производная является, таким образом, -функцией.

Вероятность одновременного переворачивания электронного и ядерного спинов может быть записана в виде

где

Здесь — волновые векторы блоховских волновых функций

описывающих начальные и конечные электронные орбиты и нормированные на единицу в объеме V образца. Символ отвечает состоянию Теперь из (IX.4) и (IX.5) получаем

Чтобы найти полную вероятность одновременного переворачивания спинов, следует умножить (IX.6) на величину

где — плотность состояний в к-пространстве, и проинтегрировать все выражение по Предположим для простоты, что поверхность Ферми имеет сферическую симметрию в -пространстве, а является числом состояний (с данным спином) в интервале в окрестности

Учитывая (IX.3), получаем

Мы пишем здесь а не с целью отметить те ограничивающие предположения, которые были сделаны при выводе формулы (IX.7) (ядерный спин и сильные внешние поля). Если предположение о сферической симметрии поверхности Ферми не оправдано, то должно быть заменено средним по поверхности Ферми от

Между грубой оценкой (IX.2) и более точным выражением (IX.7) можно обнаружить согласие, если вспомнить, что нормирована на атомный объем и что Для свободных электронов, когда выражение (IX.7) может быть записано в виде

где величина называется температурой Ферми.

Самая замечательная особенность состоит в пропорциональности температуре Т. Она находится в противоречии с более быстрым ростом при низких температурах, связанным с движениями решетки, такими, как тепловые колебания, диффузия, молекулярное вращение и т. д.

Прежде чем сравнивать теорию с экспериментом, исключим предположение о том, что ядерные спины равны и внешние поля являются сильными.