§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть — функция параметра (который мы отождествляем со временем). Будем называть ее случайной функцией, если значение у для каждого является случайной переменной, подчиняющейся закону вероятности

Среднее значение случайной функции в момент обозначаемое определяется выражением

Если — заданная функция у, то — также случайная функция и мы получим

Значения случайной функции соответствующие различным временам вообще говоря, не являются независимыми случайными переменными, а коррелирование между собой. В дальнейшем мы будем использовать только корреляцию, которая соответствует двум различным временам Определяем функцию как вероятноотщого, что у имеет значение в момент момент Функция, которая имеет несколько другой смысл и которую мы обозначим через представляет собой вероятность того, что у принимает значение в момент если оно принимает значение в момент Между этими

функциями существует очевидное соотношение

Назовем функцию определяемую выражением

автокорреляционной функцией случайной функции относительно моментов времени и

Важным классом случайных функций (только такие функции мы и будем рассматривать) являются стационарные случайные функции, которые инвариантны по отношению к изменению начала отсчета времени. Для этого класса функций представляет собой независящую от времени функцию а в функциях значения входят только в виде разности . Тогда можно написать

Время корреляции оценивается сравнительно просто из условия, что очень мало для

Из определения следует, что

и, таким образом, согласно (VIII.14),

Если, кроме того, предположить, что между прошлым и будущим существует симметрия, так что

то из (VIII. 14) непосредственно следует

Функция автокорреляции будет в этом случае четной и вещественной функцией .

Введем следующие фурье-преобразования функции или спектральные плотности:

откуда Ясно, что и к — вещественные функции и что Из второго соотношения (VIII.15а) находим

Для из (VIII. 16) следует, что

В последующем часто будет представлять составляющую флуктуирующего магнитного поля. В этом случае квадратичная величина является частью магнитной энергии, соответствующей этой компоненте, а (VIII.17) можно рассматривать как разложение этой энергии в спектр по частоте.

Аналогичным образом может быть введена функция перекрестной корреляции для двух различных случайных функций

с соответствующими спектральными плотностями.

Квантовомеханические операторы, матричные элементы которых представляют собой случайные функции времени, будут называться случайными операторами.