6.1.5. Вынужденные колебания связанных осцилляторов

В качестве примера вынужденных колебаний связанных осцилляторов рассмотрим систему, изображенную на рис. 188. Внешнее воздействие осуществляется за счет колебания точки подвеса по вертикали, причем будем считать, что входная величина меняется по гармоническому закону:

Пренебрегая демпфированием, непосредственно из второго закона Ньютона получим уравнения движения

Введя обозначения

запишем эти уравнения так:

Как и в случае вынужденных колебаний с одной степенью свободы, здесь можно ожидать, что решения имеют период, равный периоду возмущения. Будем искать эти решения в виде

Подставив эти выражения в дифференциальные уравнения (6.31), обычным путем приходим к системе из двух уравнений для двух амплитуд. Ее решение будет таково:

Представление о форме амплитудных характеристик получают, приравнивая нулю числитель и знаменатель. Знаменатель обращается в нуль при

Таким образом, снова получаются собственные частоты, т. е. частоты свободных колебаний системы. Здесь также можно утверждать, что частоты всегда расположены между собственными частотами

Рис. 188. Двойной пружинный маятник с подвижной точкой подвеса.

Рис. 189. Резонансные кривые недемпфированного двойного маятника, изображенного на рис. 188.

Следовательно, единственный нуль лежит между частотами, где обе амплитуды принимают бесконечное значение.

Резонансные кривые для (6.33) построены на рис. 189, где по оси абсцисс откладывается Обе кривые начинаются при

и уходят в бесконечность при и стремятся к нулю при . В то время как для всех значений Q отлично от нуля, принимает нулевое значение при Этот факт заслуживает особого внимания: он показывает, что первая масса, на которую возмущающая сила действует раньше, чем на вторую, может оставаться в покое, если частота возмущения имеет некоторую определенную величину.

Рис. 190 Фазы вынужденных связанных колебаний в различных интервалах частот.

Данный эффект используется при конструировании гасителей колебаний. Если колеблющиеся части конструкций, например фундаменты машин, подвергаются возмущению с постоянной частотой, то колебания можно полностью погасить за счет того, что к первому осциллятору присоединяют соответствующим образом настроенный второй осциллятор, подобно тому как это схематически изображено на рис. 188. Явление гашения колебаний можно объяснить следующим образом. При правильной настройке вторая масса колеблется в противофазе с возмущением и как раз с такой амплитудой, что сила, с которой вторая пружина действует на первую массу, уравновешивает возмущающую силу, передающуюся через первую пружину. Для этого амплитуда колебаний второй массы, как это видно из второй формулы (6.33), должна быть равна

Величину сдвига фазы колебаний в различных интервалах частот легко представить при помощи знаков амплитудных функций. Эти соотношения схематически представлены на рис. 190 для трех случаев. При малых частотах возмущения обе массы колеблются в фазе с возмущением; в местах резонанса, а также в нулях происходит скачок фазы; наконец, при достаточно больших частотах колебания протекают в противофазе.

Следует указать, что конструкция гасителей колебаний, построенных по они санному принципу, конечно, имеет смысл только тогда, когда частота возмущения остается постоянной. Это условие выполняется для многих механических устройств. Если частоты возмущения переменны, то для того, чтобы получить надлежащие амплитудные характеристики, нужно установить дополнительные демпфирующие осцилляторы. Однако здесь мы не можем вдаваться в подробности

Рис. 191. Отсасывающий контур.

Описанный принцип используют в радиотехнике в конструкции отсасывающих контуров (фильтра-пробки); см. рис 191. Благодаря связи второго колебательного контура с первым контуром, находящимся под воздействием внешнего возмущения (напрнмер, радиопередачи), при подходящей настройке может быть достигнуто такое состояние, что одна определенная частота в первом контуре совершенно не будет проявляться.