1.6. Типы колебаний и их признаки

В основу любого изложения теории колебаний должно быть положено представление о физической природе и методах математического описания колебаний. При этом нужно рассмотреть различные типы колебаний и привести основные сведения о методах их исследования.

В общем случае основным отличительным признаком колебательной системы является число степеней свободы. В соответствии с основными физическими законами это число всегда равно числу координат, необходимых для однозначного описания движения системы.

Так, абсолютно твердое тело, которое может колебаться вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, поскольку для определения положения тела достаточно одной координаты — угла его отклонения. Масса, подвешенная на нити, имеет уже не менее двух степеней свободы и т. д.

Важнейшие методы теории колебаний можно показать уже на примерах осцилляторов, имеющих одну степень свободы. Поэтому большая часть данной книги посвящается исследованию именно таких осцилляторов.

Другим отличительным признаком колебательной системы является вид дифференциальных уравнений ее движения. Здесь прежде всего надо различать линейные и нелинейные колебания, описываемые дифференциальными уравнениями соответствующего вида. Реальные колебательные системы в конечном счете всегда нелинейны, однако (в определенных пределах) их часто можно приближенно описать линейными дифференциальными уравнениями. Применение приближенных методов описания колебаний позволяет получить важные практические выводы. Заметим, что этот отличительный признак неразрывно связан с механизмом возникновения колебаний, о чем речь пойдет ниже.

Еще одним отличительным признаком колебательной системы является форма колебаний, рассмотренная в разд. 1.2. Помимо указанного там разделения колебаний по их форме (синусоидальные, треугольные, прямоугольные и т. д.) весьма важную роль играет изменение амплитуды с течением времени. Здесь следует различать нарастающие колебания, колебания постоянной амплитуды и затухающие колебания.

В основу структуры этой книги положено разделение колебаний по механизму их возникновения, т. е. по характеру возмущения, действующего на колебательную систему. Это целесообразно не только с физической точки зрения, но и по чисто методическим соображениям, поскольку к полученным таким образом различным группам колебаний применяются различные методы исследования. Мы различаем

собственные (свободные) колебания,

автоколебания (самовозбуждающиеся колебания), параметрические колебания (колебания с параметрическим возбуждением),

вынужденные колебания,

связанные колебания.

Собственные, или свободные, колебания — это движения такой колебательной системы, которая после кратковременного возмущения не подвергается какому-либо внешнему воздействию, т. е. к которой во время движения не подводится энергия извне. Примером может служить движение гравитационного маятника после кратковременного толчка. Собственные колебания всегда описываются однородными дифференциальными уравнениями.

В отличие от собственных колебаний при автоколебаниях имеет место приток энергии в систему. При этом имеется источник энергии, не обладающий колебательными свойствами, от которого система за период получает ровно столько энергии, сколько затрачивается (механизм такой передачи энергии будет описан ниже). Наиболее известным примером соответствующей колебательной системы служат часы, в которых роль источника энергии играет поднятый груз или закрученная пружина. Автоколебания описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, причем нелинейность является существенной.

При собственных колебаниях и автоколебаниях частота колебаний определяется самим осциллятором. Поэтому их называют автономными в отличие от параметрических и вынужденных колебаний, называемых гетерономными, поскольку частота последних задается внешними воздействиями. В системах с параметрическим возбуждением внешнее воздействие сказывается в периодических изменениях одного или нескольких параметров. Примером служит маятник на нити, длина которой периодически меняется. Математический отличительный признак колебаний с параметрическим возбуждением состоит в том, что в описывающих их дифференциальных уравнениях коэффициенты явно зависят от времени (как правило, периодически).

При вынужденных колебаниях колебательная система также подвергается внешним воздействиям, которые и определяют период колебаний. Однако здесь возмущение связано не с изменением параметров, а с тем, что в уравнениях движения появляются новые члены. Поэтому дифференциальные уравнения вынужденных колебаний становятся неоднородными, причем член в правой части является функцией времени. Примером вынужденных колебаний являются колебания фундамента двигателя при наличии неуравновешенных масс.

Связанные колебания возникают в тех случаях, когда либо две колебательные системы (или несколько таких систем) оказывают

друг на друга взаимное влияние, либо система имеет несколько степеней свободы. При этом отличительным признаком является взаимное влияние колебаний. Если бы это влияние было односторонним, например, если колебания первого осциллятора влияли бы на колебания второго, а колебания второго осциллятора не влияли бы на колебания первого, то имели бы место колебания уже рассмотренных выше типов: первый осциллятор совершал бы собственные колебания, которые вызывали бы вынужденные колебания второго осциллятора.

Кроме названных здесь типов колебаний возможны, конечно, колебания смешанных типов. Так, могут одновременно происходить вынужденные колебания и автоколебания, на которые к тому же накладываются собственные колебания. Могут также иметь место параметрические колебания, происходящие одновременно с автоколебаниями. В последующем изложении не ставится задача описания всех возможных случаев или хотя бы простого их перечисления. Вместо этого здесь дается представление о различных свойствах колебательных систем и методов их исследования для наиболее типичных случаев.