5.2. Периодические возмущения в линейных системах

Хотя в предыдущем разделе решение линейного уравнения колебаний и могло быть задано в интегральной форме для совершенно произвольных возмущающих функций в частных случаях могут оказаться более целесообразными и простыми другие пути решения. Это в особенности относится к периодическим возмущающим функциям, которые играют большую роль в теории и практике колебаний. В этом случае сравнительно просто найти частное решение полного неоднородного уравнения.

Любую периодическую функцию можно представить как предел суммы гармонических функций — ряда Фурье. Точно так же, в ряде Фурье, периодическая функция общего вида складывается из отдельных гармоник, в линейных системах решение может быть представлено в виде суммы всех отдельных реакций системы на гармонические составляющие входного воздействия. Отсюда следует, что прежде всего нужно рассмотреть чисто гармонические возмущающие функции.

5.2.1. Гармонические возмущающие функции

5.2.1.1. Уравнения движения осцилляторов с гармоническим возмущением.

В разд. 2.1.1 были рассмотрены различные простые осцилляторы и выведены дифференциальные уравнения их движения. Колебания во всех этих осцилляторах могут вызываться внешними гармоническими воздействиями различного вида. Количество возможных случаев столь велико, что здесь мы удовлетворимся исследованием лишь некоторых характерных явлений на примере простого осциллятора в виде массы с пружиной. Аналогично тому как поведение различного рода осцилляторов ранее удавалось описывать одними и теми же дифференциальными уравнениями, проблему возмущения гармоническими функциями можно свести к немногим основным типам уравнений движения.

Рассмотрим три различных типа возмущения для механического осциллятора, состоящего из пружины, массы и демпфера:

A) возмущение за счет периодического движения точки подвеса пружины, рис. 142;

Б) возмущение за счет колебаний корпуса демпфера, рис. 143;

B) возмущение за счет движения основания, к которому прикреплены пружина и корпус демпфера, рис. 144. К этому случаю следует отнести также показанный на рис. 145 случай возмущения за счет вращающихся дисбалансов, так как обе системы описываются одинаковыми уравнениями движения.

Случай А. Если движение точки подвеса пружины подчиняется закону

то удлинение (либо сокращение) пружины выражается разностью Сила упругости пружины пропорциональна этой разности, так что уравнение движения можно записать в виде

Если сюда ввести возмущающую функцию (5.28) и привести уравнение, как это делалось ранее, к безразмерному виду, то получим

Здесь безразмерная величина представляет собой отношение частоты возмущения к собственной частоте недемпфированной системы.

Рис. 142. Осциллятор с одной массой; возмущение колебаниями точки подвеса.

Рис. 143. Осциллятор с одной массой; возмущение колебаниями корпуса демпфера.

Наряду с безразмерным коэффициентом демпфирования D безразмерная частота является важным параметром колебательной системы, и ее влияние на характер вынужденных колебаний следует исследовать подробно.

Случай Б. Для осциллятора, показанного на рис. 143, силы демпфирования пропорциональны скорости перемещения поршня относительно корпуса демпфера. В этом случае уравнение движения выглядит следующим образом:

откуда при получается уравнение движения в безразмерном виде

Случай В. Этот случай представляет собой комбинацию обоих рассмотренных случаев, и поэтому уравнение движения запишется так:

При это безразмерное уравнение принимает вид

Как и во всех исследованных до сих пор случаях, координата х здесь характеризует измеряемое отклонение массы относительно инерциальной системы координат. Часто его трудно измерить, и во многих практических случаях им совсем не надо интересоваться.

Рис. 144. Осциллятор с одной массой; возмущение силами инерции.

Рис. 145. Осциллятор с одной массой; возмущение вращающимимся дисбалансами.

Так, если осциллятор находится на движущемся автомобиле, то основание совершает движение вместе с автомобилем. Тогда находящийся в автомобиле наблюдатель может видеть лишь движение массы относительно основания. Для него справедливо равенство . При этом уравнение (5.31) преобразуется к виду

или в безразмерных величинах

Дифференциальное уравнение такого вида получается и при возмущении осциллятора вращающимся дисбалансом — случай, который очень часто встречается в технике колебаний. На практике применяют две вращающиеся навстречу друг другу неуравновешенные массы одинаковой величины (рис. 145), которые создают силу инерции только в направлении х, в то время как силы, перпендикулярные направлению х, взаимно уничтожаются. Если всю массу дисбаланса обозначить через та, а координату его центра тяжести относительно корпуса через то сила инерции будет равна

Таким образом, в качестве уравнения движения получим

Если массы вращаются равномерно, то . Для общей массы осциллятора уравнение движения в безразмерной форме будет

где

Полученные в трех рассмотренных выше случаях А, Б и В безразмерные уравнения движения (5.29), (5.30), (5.33) и (5.34) различаются лишь коэффициентом, который стоит в правой части перед функцией косинуса. Следовательно, в общем случае можно записать

где:

Так как коэффициенты Е не зависят от безразмерного времени , уравнения движения можно решать одновременно для всех трех случаев. Лишь при исследовании зависимости решения от параметров и х эти случаи следует рассматривать по отдельности.