5.4.2.3. Устойчивость периодических решений.

Устойчивость вынужденных колебаний линейного осциллятора могла быть доказана еще в разд. 5.2.1.3 при помощи энергетических соображений. Сравнивая работу возмущающего воздействия с рассеиваемой в осцилляторе энергией (см. рис. 151), можно было показать, что при определенной стационарной амплитуде достигается равенство подводимой и потребляемой энергий. При отклонении от равновесного состояния осциллятор движется таким образом, что это отклонение

уменьшается и снова достигается равновесное состояние. Такое поведение осциллятора характеризует устойчивость рассматриваемого равновесного состояния.

Совершенно аналогично можно исследовать поведение нелинейного осциллятора, совершающего вынужденные колебания и выведенного из равновесного состояния. При этом будем исходить из соотношения (5.112), представляющего собой выражение баланса энергии. В данном случае силы демпфирования отсутствуют, так что и остается исследовать лишь правую часть равенства (5.112). Взяв возмущающую функцию в виде

и воспользовавшись решением (5.118), энергию, подводимую к осциллятору за счет возмущения, можно выразить следующим образом:

    (5.134)

Так как исследуемые здесь колебания симметричны относительно оси абсцисс, достаточно исследовать, например, одну лишь положительную область. Тогда за пределы интегрирования следует принять , а перед вторым слагаемым, стоящим в квадратных скобках, взять знак минус. Подставляя соответствующие значения:

для антифазных колебаний

для синфазных колебаний

легко установить, что для обеих форм колебаний сохраняется энергетический баланс, т. е. выполняется равенство

Теперь рассмотрим энергетический баланс для возмущенного движения, близкого к стационарному, и возьмем постоянную интегрирования в виде

    (5.135)

где — малое возмущение. При этом условия периодичности (5.120) и (5.121) уже не выполняются, однако уравнение движения

(5.117) остается справедливым. Изменение постоянной приводит теперь к тому, что границы положительной области несколько сдвигаются, а пределы интегрирования становятся равными

    (5-136)

Изменение интеграла энергии по сравнению со значением (5.134), полученным для установившегося движения, вызывается, во-первых, изменением скорости х за счет введения новой постоянной интегрирования (5.135) и, во-вторых, изменением пределов интегрирования согласно (5.136). Если возмущение , а вместе с ним и величины считать малыми, то изменения, обусловленные смещением пределов интегрирования, взаимно компенсируются. Произведя необходимые вычисления, получим

Теперь рассмотрим влияние возмущения на амплитуду колебаний. Прежде всего можно установить, что происходит небольшое изменение положения максимума , так что можно принять Как и следует ожидать, малое смещение и в этом случае не сказывается на величине максимума, так что вычислять не требуется. Для возмущенного антифазного колебания из (5.123) с учетом возмущения (5.135) получаем

Но так как

и , отсюда следует

    (5.139)

Аналогичным образом из (5.125) для возмущенного синфазного колебания получаем

что

равно

    (5.140)

Таким образом, положительное возмущение для обеих форм колебаний приводит к увеличению амплитуды. Так как для антифазного колебания подводимая энергия Ее, согласно (5.137), отрицательна, т. е. энергия отбирается, амплитуда уменьшается. Поэтому колебания после возмущения снова стремятся к равновесному состоянию и являются устойчивыми.

Совсем иначе происходят колебания при синфазном возмущении. При таком возмущении, приводящем к увеличению амплитуды, от него поступает еще больше энергии. За счет этого амплитуда все более возрастает, так что колебания все больше удаляются от равновесного состояния. Одинаковым образом происходят колебания и при при этом также можно обнаружить тенденцию к удалению от равновесного состояния. Поэтому колебания при синфазном возмущении являются неустойчивыми.