2.1.2.3. Влияние массы пружины.

Исходя из энергетических соображений, можно найти влияние массы пружины, которым до сих пор пренебрегали. Кинетическая энергия системы представляется теперь кинетической энергией массы , а также энергией отдельных элементов пружины (рис. 42):

Здесь , как видно из рис. 42, координата элемента пружины, а масса, приходящаяся на единицу длины. Не будет большой ошибки, если для скорости элемента пружины принять справедливым соотношение Оно означает, что вдоль пружины от точки закрепления пружины до массы скорость возрастает линейно от нуля до скорости массы .

Рис. 42. К подсчету влияния массы пружины.

Рис. 43. Деформация мягкой пружины под действием собственного веса.

Рис. 44. К подсчету влияния массы плоской пружины.

Это предположение заведомо допустимо в том случае, когда период собственных колебаний, которые может совершать пружина при жестко закрепленной массе, значительно меньше периода колебаний самого осциллятора, состоящего из массы и пружины, а это имеет место при условии, что масса пружины значительно меньше . Подставив в уравнение (2.62)

получим

или (поскольку масса пружины )

Таким образом, получаем выражение кинетической энергии того же вида, только теперь к массе колеблющегося тела добавляется треть массы пружины. Это справедливо не только для кинетической энергии, но и для расчета собственной круговой частоты которая также получается из выражения кинетической энергии. Период колебаний рассматриваемого осциллятора, состоящего из массы и пружины, соответственно будет

Если эту приближенную формулу применить к предельному случаю , то для периода собственного колебания ненагруженной пружины с равномерно распределенной массой получится значение, заниженное примерно на 10%. Ошибка будет меньшей, если учесть, что под действием собственного веса пружина деформируется неравномерно: ведь деформация пружины в свою очередь является функцией от как показывает рис. 43 для случая очень мягкой пружины.

Если осциллятор состоит из плоской пружины, один конец которой закреплен, а другой несет массу (рис. 44), то кинетическая энергия равна

Скорость элемента плоской пружины уже нельзя принимать за линейную функцию от расстояния у, отсчитываемого от места закрепления пружины. Однако можно считать справедливым соотношение где — статический прогиб плоской пружины. Для прогиба под действием сосредоточенной нагрузки приложенной на конце плоской пружины, теория изгиба дает

здесь Е — модуль упругости, момент инерции площади поперечного сечения плоской пружины. Отсюда получается максимальный прогиб при так называемая стрела прогиба,

Подставив в и проинтегрировав результат, найдем

Теперь видно, что в этом случае к массе тела следует добавить примерно одну четверть массы пружины (вместо одной трети в случае винтовой пружины). В предельном случае полученный таким образом период колебаний плоской пружины без нагрузки на свободном конце оказывается только на 1,5% меньше точного значения.