2.1.1.5. Гравитационный маятник.

Уравнение движения материальной точки, подвешенной на нити (рис. 33) и движущейся в плоскости (плоского математического маятника), легко вывести уже описанным выше способом. При отклонении маятника на угол от вертикали возникает восстанавливающая составляющая силы тяжести, равная

    (2.28)

Дуга, описываемая материальной точкой, имеет длину ускорение точки равно а сила инерции составляет

Полагая

получаем уравнение движения

Это нелинейное уравнение можно упростить, если ограничиться малыми углами отклонения маятника . Тогда в известном разложении синуса можно оставить только первый член:

При этом уравнение (2.30) становится линейным:

как и получалось во всех рассмотренных до сих пор случаях. Примененный здесь прием является простым примером линеаризации методом малых колебаний; этот метод будет подробно описан в дальнейшем.

Рис. 33. Математический маятник, совершающий плоское движение.

Рис. 34. Физический маятник.

Уравнение, полностью эквивалентное уравнению (2.30), получается и тогда, когда вместо математического маятника рассматривается маятник в виде твердого тела — физический маятник (рис. 34). Здесь целесообразно подсчитывать не силы, а моменты относительно оси вращения такого маятника. Так, в качестве восстанавливающего момента силы тяжести получаем

где s — расстояние от центра тяжести до оси вращения D. Момент, создаваемый силами инерции, равен где — момент инерции физического маятника относительно оси вращения. Полагая

снова получаем уравнение движения в виде (2.30).

Наконец, к гравитационным маятникам можно отнести и такие осцилляторы, в которых масса движется под действием силы тяжести вдоль заданной кривой или шар (либо цилиндр) катится по изогнутой поверхности.

Рис. 35. Движение массы по произвольной плоской траектории в поле силы тяжести.

Рис. 36. Осциллятор качения на заданной поверхности.

Колебательным движением является также перекатывание одной криволинейной поверхности по другой, происходящее под действием силы тяжести; в качестве примера такого осциллятора можно привести кресло-качалку.

В случае математического маятника материальная точка перемещается по круговой траектории. Пусть теперь траектория точки произвольна (рис. 35); тогда в уравнении траектории функцию можно считать заданной. Обозначив через угол, образуемый касательной к траектории с горизонтальной осью, получим — при отклонениях точки от положения равновесия — восстанавливающую силу

Так как выражение можно преобразовать:

Сила инерции по-прежнему равна . Для длины дуги s и ее производных по времени имеем следующие выражения:

Из условия равновесия сил с учетом (2.32) и (2.33) теперь следует уравнение движения

Если за траекторию принять, например, окружность радиуса L, то при помощи параметрического представления

мы снова вернемся к уже непосредственно выведенному уравнению (2.30) для математического маятника.

Если колеблющаяся масса не скользит, а катится по заданной поверхности (рис. 36), то в предыдущих рассуждениях мало что изменится. Следует только иметь в виду, что качение может происходить только тогда, когда существуютсилы трения, предотвращающие скольжение. Эти силы трения включаются в баланс сил осциллятора, так что теперь требование равновесия сил в направлений движения выглядит так:

Относительно центра М, силы трения создают момент где а — радиус качения. Этот момент должен уравновешивать момент сил инерции:

Здесь J — момент инерции катящегося тела относительно оси, проходящей через точку М. Если определить неизвестную силу трения подставить полученное значение в (2.35) и учесть чисто кинематические условия качения

то получится уравнение движения

Отсюда видно, что явление качения ничего не меняет в форме уравнения: меняется лишь масса, увеличиваясь на . Учитывая, что момент инерции можно выразить через радиус инерции,

массу, входящую в уравнение качения, можно записать в виде

Для однородного шара для однородного цилиндра

Следует, однако, подчеркнуть, что увеличенная масса должна учитываться только при определении момента сил инерции, а не при расчете восстанавливающей силы, обусловленной действием силы тяжести. В качестве примера можно записать уравнение движения однородного шара, который катается внутри сферической оболочки радиуса L, причем точка касания шара и оболочки описывает плоскую траекторию, проходящую через наинизшую точку оболочки. Поскольку имеем

    (2.38)

полагая

получаем известное уравнение движения математического маятника