2.2.2.3. Поведение решений.

Для полученных в предыдущем разделе решений нас преимущественно интересует -диаграмма, т. е. процесс движения во времени. Из решений (2.134) и (2.136) можно прежде всего усмотреть, что в случае происходят лишь апериодические движения, описываемые экспоненциальными функциями с действительными отрицательными показателями.

Рис. 65. Изображение демпфированных колебаний в плоскостях при

Наоборот, в случае когда получается решение (2.127), происходят колебания, амплитуды которых из-за наличия множителя чением времени убывают. Поскольку в решение (2.127) входят периодические функции синус и косинус, решение при иногда относят к периодическому случаю, но это не совсем правильно, ибо, при координата х не удовлетворяет условию периодичности (1.1). Случаи и называют апериодическими, причем первый из них называется предельным апериодическим случаем.

Рассмотрим сначала случай Заметим, что преобразование (2.125) переводит прямые в плоскости у, х в убывающие экспоненциальные кривые в плоскости (рис. 65). Вследствие этого кривая недемпфированного колебания в плоскости у, х переходит в плоскости в кривую демпфированного колебания, заключенную между двумя убывающими экспонентами. Бывшие прямые образуют теперь огибающие кривых демпфированных колебанйй. Уравнение огибающих имеет вид

    (2.137)

Поведение демпфированного колебательного процесса во времени характеризуется двумя величинами, которые определяют, во-первых, спад огибающих со временем, и, во-вторых, период колебания — интервал времени между двумя последовательными моментами касания кривой переходного процесса с одной из огибающих. Спад огибающих со временем определяется так называемой

постоянной времени (соответственно ), равной

    (2.138)

При этом уравнение огибающей можно записать в виде

Геометрический смысл постоянной времени ясен из рис. 66. Касательная к экспоненте в точке пересекает ось абсцисс при значении Легко убедиться в том, что расстояние по оси между произвольной точкой касания и точкой пересечения касательной с абсциссой равно За время экспонента убывает на величину, равную первоначального значения, так что амплитуда колебаний за это время уменьшается до 63%.

Рис. 66. Геометрический смысл постоянной времени

Величина измеряется в безразмерном собственном времени, значение же постоянной в масштабе действительного времени в силу (2.122) будет

    (2.139)

Второй характерной величиной, как было указано выше, является период колебания. Он определяется как период входящих в решение (2.127) периодических функций синус и косинус. Таким образом, в масштабе собственного времени

и соответственно в масштабе действительного времени

    (2.140)

причем период соответствующего недемпфированного колебания, . Эта формула показывает, что демпфированные колебания имеют больший период колебания, чем недемпфированные. Правда, для малых значений коэффициента демпфирования

D это влияние почти неощутимо; оно становится существенным лишь тогда, когда D приближается к единице.

Из решения (2.127) видно, что точки прохождения кривой колебания через нулевое положение отстоят друг от друга на расстояние Точки, в которых кривая колебания касается огибающей, лежат посередине между нулевыми положениями.

Рис. 67. Определение смещения 5 максимума кривой колебания.

Однако эти точки касания совпадают с максимумами кривой колебания только в случае недемпфированных колебаний. При демпфированных колебаниях максимумы смещены на небольшие величины . Величины этих смещений находят по нулевым значениям скорости ко лебания х. Из (2.128) при следует

Если тангенсоиду пересечь горизонтальной прямой, проведенной на расстоянии от оси абсцисс (рис. 67), то смещение максимума можно видеть непосредственно; оно составляет

    (2141)

Это смещение не зависит от величины амплитуды. Соответственно этому, период демпфированного колебания можно определить либо по расстоянию между прохождениями кривой колебания через нуль, либо по расстоянию между максимумами этой кривой. Однако в этом случае интервал времени между максимумом кривой колебания и ее прохождениями через нуль не будет равен четверти периода недемпфированного колебания.

Величины амплитуд колебания уменьшаются со временем в соответствии с ходом огибающей. Это уменьшение уже было охарактеризовано постоянной времени но наряду с этим целесообразно иметь и другую меру измерения уменьшения амплитуды, в которой

данное уменьшение задается не как функция времени, а как функция числа полных колебаний. Обозначим амплитуды кривой колебания, расположенные по одну сторону от среднего положения, через а соответствующие значения времени через тогда, - согласно (2.127),

Разделим первое выражение на второе и (поскольку косинус имеет период ), получим

    (2.142)

Таким образом, отношение двух следующих друг за другом амплитуд, расположенных по одну сторону от среднего положения, является постоянной величиной, независящей ни от амплитуды С, ни от текущего времени . Поэтому для характеристики процесса уменьшения амплитуд колебаний можно воспользоваться отношением (2.142). Натуральный логарифм этого отношения

называют логарифмическим декрементом затухания и обозначают буквой . Если хотят определить О по величинам двух последовательных амплитуд, расположенных по разные стороны от среднего положения, то логарифм в левой части уравнения (2.143) нужно умножить на два. Величины и D связаны друг с другом соотношением (2.143). Величину D удобнее использовать в теоретических расчетах, в то время как величину легко найти путем измерений. Разрешив (2.143) относительно D, находим

Если хотят по измеренным величинам амплитуд определить величину а затем из (2.144) получить D, то лучше пользоваться не формулой (2.143), а графическим построением. Для этого на график наносят (в полулогарифмическом масштабе) точки и соединяют их прямой (рис. 68). Тангенс угла а наклона этой прямой равен Последнее можно установить следующим образом:

или

или, так как

    (2.145)

Если при использовании этого способа нанесенные точки измерения отклоняются от прямой, причем эти отклонения не могут объясняться неточностью отдельных измерений, а носят систематический характер, то это указывает, что принятый закон демпфирования неверен.

Рис. 68. Графическое определение логарифмического декремента затухания Ф.

Рис. 69. Частные решения уравнения (2.123) в случае

Тогда о действительном законе демпфирования можно судить по виду кривой, соединяющей точки измерения, но таким исследованием мы заниматься не будем.

Следует упомянуть гакже, что кривой демпфированного колебания можно представить не только координату х (по формуле (2.127)), но и ее производные. Поскольку в выражении для амплитуды все производные х сохраняют один и тот же множитель их постоянные времени имеют одинаковую величину. Тогда из-за равенства периода колебания и логарифмический декремент во всех случаях будет одинаковым. Если же измеряется не сама координата х, а какая-либо величина, связанная с ней квадратичной зависимостью, например энергия, то полученная постоянная времени будет представлять собой только половину своего прежнего значения. Действительно,

откуда следует, что постоянная времени для равна

Таким образом, спад огибающей для происходит вдвое быстрее, чем для х. Однако из этого нельзя делать вывод, что удваивается и логарифмический декремент затухания. В силу того что

для круговая частота вдвое больше частоты для а период колебания вдвое меньше поэтому

Таким образом, логарифмический декремент остается неизменным.

Чтобы исследовать поведение системы при апериодическом движении, происходящем при вернемся к форме решения (2.134)

и заметим, что, поскольку

Отсюда следует, что общее решение всегда можно построить из двух экспоненциальных функций, которые убывают с различной скоростью, и поведение системы во времени можно характеризовать двумя постоянными времени

    (2.146)

Теперь надо скомбинировать два частных решения (рис. 69) в соответствии с заданными начальными условиями. Чтобы лучше представить себе картину возможных форм движения, следует исходить не из самих начальных условий, а из значений коэффициентов А и В частных решений и представить общее решение в виде

Считая постоянной амплитуду А медленнее убывающего решения и меняя величину амплитуды В, получаем -диаграммы, приведенные на рис, 70.

Рис. 70. Изображение апериодического движения в плоскости х, при различных начальных условиях.

Кривая 3 относится к движению, при котором осциллятор отпускается без толчка из начального положения, не совпадающего с положением равновесия, а кривая 5 — к движению, когда осциллятору, находящемуся в положении равновесия, сообщают толчок. Кривые 1, 2 и 6 соответствуют толчку, направленному к положению равновесия; кривая 4 — толчку, направленному от положения равновесия. На рис. 70 показаны

все возможные апериодические процессы; исследования при других значениях А дали бы лишь измененные в масштабе или же отраженные относительно оси кривые. Поэтому можно утверждать, что в случае могут существовать, самое большее, одна точка изменения направления движения и, самое большее, одна точка пересечения оси т. Это утверждение справедливо и для предельного случая в котором движение определяется формулой (2.136) и качественно полностью соответствует процессам, представленным на рис. 70.