2.1.2. Поведение линейных осцилляторов

В предыдущем разделе было показано, что уравнения движения многих осцилляторов являются линейными и сводятся, если пренебречь силами сопротивления, к дифференциальному уравнению

Свойства решения этого уравнения будут рассмотрены ниже.

Следует подчеркнуть, что термин «линейное» здесь всегда относится к линейности дифференциальных уравнений, а не к возможной прямолинейности движения колеблющейся массы.

2.1.2.1. Решение дифференциального уравнения (2.51).

Уравнение (2.51) имеет два частных решения:

Эти решения образуют фундаментальную систему, так что общее решение можно записать в виде их линейной комбинации

    (2.52)

с постоянными А и В. Объединяя оба частных решения, можно привести решение также к форме

где

Постоянные интегрирования (соответственно ) могут быть найдены из начальных условий. Если в начале движения

то при подстановке в уравнения (2.52) и (2.53) найдем

Таким образом, движение линейного осциллятора происходит по закону синуса (или косинуса), причем амплитуда С и фаза однозначно определяются начальными условиями для отклонения и скорости. Единственный входящий в уравнение (2.51) параметр со оказывается теперь круговой частотой колебаний. Зависимость этой собственной частоты от физических параметров некоторых осцилляторов была найдена в разд. 2.1.1, так что теперь можно составить таблицу выражений периодов колебаний для рассмотренных случаев (см. табл. 1).

Таблица 1 (см. скан)

Построение общего решения (2.52) как суперпозиции частных решений возможно лишь для линейных осцилляторов. Из принципа суперпозиции, которым мы будем часто пользоваться в дальнейшем, следует, что для линейных осцилляторов все вычисления гораздо проще, чем для нелинейных. Чтобы использовать это преимущество, нелинейный осциллятор, точный расчет которого невозможен, обычно заменяют его линейной моделью.

Решение уравнения (2.51) можно получить и в комплексном виде. Прежде всего запишем исходное уравнение в комплексной форме. Для этого введем новые переменные

а затем преобразуем уравнение второго порядка в два уравнения первого порядка:

Если теперь принять за действительную и мнимую части комплексной переменной

то оба уравнения (2.55) можно объединить в одно комплексное уравнение первого порядка

с решением

Изображая это решение в комплексной плоскости (рис. 39), получаем уже рассмотренную ранее векторную диаграмму гармонического колебания. В общем случае коэффициент усиления А тоже является комплексной величиной. Он определяется величиной амплитуды и величиной фазы в начальный момент времени. Комплексное представление полностью эквивалентно действительному, но имеет то преимущество, что порядок комплексного дифференциального уравнения вдвое ниже порядка исходного уравнения. Это может оказаться решающим при решении системы дифференциальных уравнений и привести к существенной экономии расчетной работы. Правда, комплексный метод успешно применяется только в таких задачах, которым свойственна известная симметрия. Эта симметрия состоит в том, что исходное уравнение должно разделяться на уравнения симметричной структуры (как уравнение (2.55)).

Рис. 39. Векторное изображение гармонического колебания.

Для движения линейного осциллятора по закону (2.52) или соответственно (2.53) можно построить -изображение, а по комплексному закону (2.57) — векторное изображение. Остается выяснить, можно ли непосредственно из исходного уравнения (2.51) получить фазовую траекторию движения. Это, действительно,

также оказывается возможным. Для этого умножим (2.51) на х и проинтегрируем:

или

    (2.59)

Полученное уравнение представляет собой уравнение фазовой траектории, т. е. устанавливает зависимость между Постоянная интегрирования снова служит для того, чтобы полученное решение могло удовлетворять заданным начальным условиям. Как показывает уравнение фазовые траектории являются эллипсами, полуоси которых относятся друг к другу как . Соответствующий фазовый портрет был уже рассмотрен ранее; он изображен на рис. 14.