3.2.4. Метод медленно меняющихся амплитуд
Как метод гармонического баланса, так и метод Ритца — Галеркина прежде всего позволяют судить только о возможных периодических колебаниях. Хотя оба этих метода можно использовать
и для описания непериодических процессов, для этой цели более удобным представляется другой метод, а именно метод медленно меняющихся амплитуд, предложенный Ван дер Полем и впервые примененный им для решения названного его именем уравнения (3.3). Метод описывается здесь лишь в основных чертах и поясняется на одном примере.
Гармонические выражения (3.11) справедливы для стационарных колебаний. Для их же применения к переходным колебательным процессам амплитуду следует считать функцией времени:
Основная идея метода состоит в том, что амплитуда 
рассматривается как функция, которая медленно меняется во времени и для которой следует положить
Поэтому в выражениях (3.26) для 
можно пренебречь первыми членами в силу их малости. Далее, если функцию 
аппроксимировать первыми членами ее разложения в ряд Фурье
то после подстановки в исходное уравнение (3.2) получится
Чтобы это равенство выполнялось для любого момента времени t, стоящие в скобках выражения должны одновременно обращаться в нуль:
Из этих соотношений можно найти частоту и амплитуду колебаний. В качестве примера снова рассмотрим уравнение (3.3), где
Подстановка гармонических выражений (3.26) после простых преобразований дает
Сравнение с соотношением (3.27) показывает, что в данном случае
В силу этого из (3.29) получаются условия
), так что и здесь мы снова получаем уже найденное ранее значение стационарной амплитуды колебаний. Чтобы решить дифференциальное уравнение (3.31), умножим его на 
и введем новую переменную 
решение которого известно:
является начальным значением амплитуды А при 
Временная зависимость (3.33) представлена на рис. 89. При 
амплитуда с увеличением t (рис. 89) приближается к значению 
при 
наоборот, амплитудные кривые как в случае 
так и в случае 
асимптотически приближаются к стационарному значению 
