2.2. Демпфированные собственные колебания
2.2.1. Учет демпфирования
При выводе уравнений движения осцилляторов, рассмотренных в разд. 2.1.1, всегда делалось допущение об отсутствии какого-либо сопротивления. Поэтому в большинстве случаев уравнение движения механического осциллятора можно было представить в виде
Такие уравнения движения получались из условий равновесия между силами инерции и восстанавливающими силами (или в случае электрического колебательного контура из условия равновесия напряжения на катушке и конденсаторе). Однако в каждом реальном осцилляторе действуют и силы (соответственно моменты или напряжения), которые оказывают демпфирующее воздействие. Эти силы демпфирования совершают отрицательную работу, уменьшая тем самым энергию колебания.
В качестве примера рассмотрим простой механический осциллятор, представленный на рис. 63 и состоящий из пружины и массы, которая соединена с создающим демпфирование поршнем. При колебании поршня в цилиндре возникает сила, величина которой зависит от скорости поршня х, а направление противоположно направлению этой скорости. При хорошо подогнанном поршне
эта сила прямо пропорциональна скорости и поэтому
(2.114)
Знак определяется условием, что сила демпфирования всегда тормозит движение. С учетом силы демпфирования условие равновесия сил принимает вид
и, следовательно,
(2.115)
Соответственно можно дополнить введенное выше уравнение (2.16 ) для электрического колебательного контура, учитывая имеющиеся в каждом контуре омические сопротивления.
Рис. 63. Схема демпфированного осциллятора.
Рис. 64. Электрический колебательный контур с сопротивлением.
На рис. 64 все сопротивления представлены одним особо выделенным элементом R, хотя это совершенно не обязательно. Если в контуре течет ток 
, то падение напряжения на сопротивлении составляет
поэтому условие равновесия напряжений дает уравнение
или, поскольку 
, уравнение
(2.116)
В обоих рассмотренных случаях сила демпфирования (соответственно падение напряжения) пропорциональна скорости изменения некоторого параметра состояния х (соответственно Q). Такая пропорциональность, очевидно, не является безусловной. Если, например, к маятнику прикреплена перпендикулярная его
движению пластина, которая при колебаниях вызывает турбулентное движение воздуха, то демпфирующие моменты с большой точностью можно считать пропорциональными квадрату скорости. При движении маятника может возникнуть и момент сил сухого трения, у которого величина почти не зависит от скорости движения, но при изменении направления движения меняется знак.
В каждом случае демпфирующие влияния являются функцией скорости; эту функцию в общем случае мы будем обозначать 
При этом уравнение движения осциллятора (разделив его на коэффициент при х) почти всегда можно привести к общему виду
(2.117)
Иногда оказывается, что силы демпфирования и восстанавливающие силы очень тесно связаны друг с другом и в уравнении движения их нельзя разделить. Тогда общий вид уравнения движения будет выглядеть так:
(2.118)
В дальнейшем будут рассмотрены прежде всего свойства демпфированных линейных осцилляторов, а затем некоторые типичные случаи нелинейных осцилляторов.
