3.4.2. Колебания в релейном контуре регулирования (регулятор температуры)

Рассмотрим колебания регулятора температуры. Принципиальная схема устройства, которое в почти неизменном виде применяется в термостатах, электрических печах, отоплении помещений, холодильниках и кондиционерах, приведена на рис. 108. Помещение R обогревается нагревателем Н, причем достигается определенная температура х. Величина х, измеряемая, например, термоэлементом, сравнивается с заданным значением и разность поступает на вход усилителя. На выходе усилителя включено реле, которое включает нагреватель , если измеренное значение х меньше заданного, и соответственно отключает нагреватель, если х больше заданного значения. В отдельных случаях нагреватель может не выключаться, а переключаться на более низкий уровень обогрева.

Рис. 108. Регулятор температуры релейного типа.

Чтобы получить уравнение для температуры х, рассмотрим тепловой баланс системы. Если Q — количество тепла, подводимое

нагревателем в секунду, количество тепла, отводимое в секунду вследствие потерь, количество тепла, накапливающееся в помещении за секунду, то

Количество отводимого тепла принимается пропорциональным температуре:

Количество подводимого тепла постоянно, пока реле находится в одном из двух возможных состояний: нагреватель включен или выключен. Для накапливающегося в помещении тепла в случае постоянной теплоемкости С можно записать

Подставляя в (3.67) выражения для , получаем

Введем следующие обозначения:

Здесь величина является максимальной температурой в помещении, которая со временем устанавливается при длительном включении нагревателя; соответственно минимальная температура, которая со временем устанавливается при отключенном нагревателе или при его работе в пониженном режиме. Положение реле определяет то из этих значений, которое надо подставить в уравнение. Таким образом, из уравнения (3.68) получаем

Решения этого дифференциального уравнения известны, и в случае начальных условий при имеют вид

Графики этих решений приведены на рис. 109, а фазовые траектории — на рис. 110. Реально существующее решение, соответствующее процессу регулирования, представляется обоими решениями (3.70). Моменты перехода от одного решения к другому определяются характеристикой реле и настройкой регулятора.

Регулятор и помещение, в котором поддерживается заданная температура, образуют контур регулирования. На вход регулятора от измерительного прибора (термометра) поступают данные о температуре в помещении, и регулятор, включая и выключая нагреватель, поддерживает температуру помещения в заданных пределах.

При идеальной характеристике реле его действие описывается следующей функцией f(x):

или в общем виде

График этой функции приведен на рис. 111.

Теперь процесс регулирования протекает следующим образом. Если начальная температура в помещении ниже заданной, то регулятор включает нагреватель.

Рис. 109. Графики решений уравнений контура регулирования температуры.

Рис. 110. Фазовые траектории решений уравнений контура регулирования температуры.

Температура, согласно (3.70), возрастает соответственно восходящей кривой на рис. 109, пока не будет достигнуто заданное значение температуры. При малейшем превышении этого заданного значения регулятор выключает нагреватель, и после этого вступает в силу решение (3.70), которому на рис. 109 соответствует нисходящая кривая. Температура снижается и становится меньше заданного значения. Регулятор опять включает нагреватель, и температура вновь повышается.

При идеальном регуляторе процесс регулирования состоял бы из отдельных отрезков кривых I и II, теоретически бесконечно быстро следующих друг за другом, а температура почти незаметно колебалась бы около заданного значения. Иначе говоря, процесс регулирования представлял бы собою колебательный процесс с бесконечно большей частотой и бесконечно малой амплитудой.

Реальные регуляторы ведут себя иначе, так что частота и амплитуда колебаний температуры имеют конечные значения. Главные причины таких колебаний регулируемой температуры заключаются в следующем.

1. Гистерезис реле, применяемого в регуляторе. В этом случае около заданного значения температуры существует известная зона нечувствительности, в которой реле не реагирует на отклонения температуры. Характеристика реле и соответственно статическая характеристика регулятора имеет вид, показанный на рис. 112.

Реле включается и выключается не при , а при значениях , которые отличаются от на величину

Рис. 111. Характеристика идеального реле.

Рис. 112. Характеристика реле с гистерезисом.

2. Временное запаздывание регулятора. В рассматриваемом случае для того, чтобы сигнал переключения от измерительного прибора достиг реле, требуется определенное время на выходе регулятора. Во многих случаях время запаздывания можно считать постоянным. Переменное время запаздывания может возникнуть благодаря инерции измерительного прибора.

3. Инерция измерительного прибора. Измерительный прибор показывает не действительную температуру х, а величину зависящую от х, но из-за инерции измерительной системы отстающую от действительной температуры. Совершенно аналогичные явления происходят и потому, что в обогреваемом помещении температура х не сразу распределяется равномерно. Таким образом, температура в месте измерения в общем случае отстает от измеряемой непосредственно у нагревателя. Оба эффекта запаздывания оказывают одинаковое влияние на характер колебательного процесса.

Рассмотрим более подробно причины колебаний, - указанные в пунктах 1 и 2.