5.1.4. Возмущающие функции общего вида

Как показано на рис. 140, возмущающую функцию произвольно зависящую от времени, всегда можно аппроксимировать последовательностью ступенчатых функций. Высота соответствующего моменту времени скачка равна

Рис. 140. Аппроксимация возмущающей функции ступенчатыми функциями.

При этом — разность по времени между двумя соседними скачками, подходящим образом выбранное значение в интервале

Отдельный скачок в момент дает для выходной функции приращение

Поскольку осциллятор предполагается линейным, выходную величину можно получить сложением отдельных составляющих

Переходя теперь к пределу , получаем

При помощи этого интеграла, выведенного Дюамелем и названного его именем, определяется реакция линейного осциллятора на возмущение

в виде произвольной функции . Решение (5.24) справедливо для тех же самых начальных условий, для которых была найдена переходная функция , т. е. для системы, находившейся при в покое. Если к выражению (5.24) добавить еще выражение для собственных колебаний, то получится самое общее решение, которое справедливо для любых начальных условий.

Легко убедиться в том, что из (5.24) снова получается переходная функция, если представляет собой единичную ступенчатую функцию. Тогда производная везде равна нулю, за исключением точки . Здесь так что уравнение (5.24) дает просто .

Если применить интеграл Дюамеля к системе с одной степенью свободы, то с учетом собственных колебаний системы выражение (5.6) примет вид

Это выражение можно, например, применить к случаю, когда является импульсной функцией, показанной на рис. 137. Тогда должна стать равной переходной ступенчатой функции Заменив импульсную функцию двумя ступеньками высотой Я при интеграл Дюамеля можно представить в следующем виде:

При это выражение можно упростить:

Если учесть, что , то

Переходя к пределу и выбирая случай, когда увидим, что произведение получает конечное значение. Положив в точности получим импульсную переходную функцию (5.9).

Произвольную возмущающую функцию можно аппроксимировать и последовательностью отдельных импульсов, как показано

на рис. 141. Используя импульсные переходные функции можно соответственно найти и реакцию линейной системы. Воздействие отдельного импульса, приложенного в момент равно

В качестве меры воздействия отдельного импульса здесь служит произведение т. е. площадь вертикальной полосы, показанной на рис. 141. Суммируя воздействия отдельных импульсов и переходя к пределу наконец получаем

Рис. 141. Аппроксимация возмущающей функции импульсными функциями.

Этот интеграл, как и интеграл Дюамеля (5.24), можно использовать для вычисления реакции линейных осцилляторов на произвольные возмущающиефункции. Вычисление интеграла (5.26) в итоге дает решение для системы, находящейся при КО в покое. Другие начальные условия удовлетворяются добавлением решения для однородного уравнения (собственных колебаний).

Для осциллятора с одной степенью свободы воспользуемся формулой (5.9) и добавим выражение для собственных колебаний:

Если в качестве подставить сюда ступенчатую функцию, то снова получится переходная функция (5.6). Введя обозначение и приняв будем иметь

С учетом того, что получим ступенчатую переходную функцию (5.6).