5.4.2.2. Сравнение точного и приближенного решений.

Решим уравнение движения (5.117) также приближенным методом гармонического баланса. Для этого прежде всего заменим нелинейную функцию линейным выражением где, согласно первой формуле (3.15),

Теперь уравнение движения (5.117) можно заменить приближенным уравнением

    (5.131)

Зависящий от амплитуды коэффициент а равен квадрату собственной частоты (о осциллятора, которая зависит теперь от амплитуды. Напомним, что эта приближенно найденная собственная частота отличается от частоты, полученной ранее точным способом, примерно на 1,6% (см. формулы (2.100) и (2.112)).

Для отыскания периодических решений уравнения (5.131) положим причем знак плюс соответствует синфазному, а знак минус — антифазному движению. Подстановка этого выражения в (5.131) дает условие

которое выполняется для произвольных значений времени t только тогда, когда

Но так как сама является функцией амплитуды А, то

    (5.132)

или

    (5.133)

Это приближенное решение отличается от точного решения (5.128) только числовым коэффициентом (вместо ). Указанные коэффициенты различаются на 3,4%. Так как в данном случае точное значение собственной частоты известно (из формулы (2.100) следует, что ), при определении амплитуды даже можно было бы подставить это значение в равенство (5.132) и получить точное решение. Этот результат заслуживает особого внимания, ибо в исследованном здесь осцилляторе восстанавливающая сила весьма далека от линейной.