2.1.2.2. Энергетические соотношения.

Процесс интегрирования уравнения (2.58), который привел к уравнению фазовой траектории (2.59), тесно связан с энергией колеблющейся системы. Для рассматриваемых здесь недемпфированных осцилляторов имеет место закон сохранения энергии, который гласит, что для механического осциллятора сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной. Это легко установить из уравнения движения, которое мы будем рассматривать не в упрощенной форме (2.51), а в виде условия равновесия сил, например в виде (2.4).

Рис. 40. Энергетическая диаграмма для линейного консервативного осциллятора.

Умножив это уравнение почленно на х и проинтегрировав, получим

    (2.60)

Это закон сохранения энергии; — постоянная величина энергии. Соотношение (2.60) можно изобразить весьма наглядно (рис. 40), если представить потенциальную энергию как функцию х. При этом получается парабола, форма которой зависит лишь от жесткости пружины с. Если эту параболу пересечь прямой, параллельной оси х и расположенной на расстоянии нее, то точки пересечения этой прямой с параболой дают значения амплитуды А колебания. Теперь для любой величины х в интервале

можно найти соответствующие значения потенциальной и кинетической энергии. Изображение такого рода в несколько обобщенном виде будет использоваться ниже при рассмотрении нелинейных колебаний.

Подстановка решения (2.53) в выражения для потенциальной и кинетической энергии дает

Выражения (2.61) показывают, что, в то время как координата х, а вместе с ней и ее производная колеблются с круговой частотой , колебания каждого вида энергии происходят о удвоенной частотой (рис. 41).

Рис. 41. Отклонения и энергия осциллятора как функции времени.

Когда значения одной формы энергии минимальны, значения другой максимальны. Максимальные значения каждого вида энергии, конечно, должны быть равны:

отсюда снова следует, что