5.2.1.3. Мощность и работа при вынужденных колебаниях.

У механического осциллятора мощность L рассчитывается как скалярное произведение вектора силы и вектора скорости х

Если по направлению сила и скорость совпадают, то можно взять обычное произведение . В противном случае подставляют лишь составляющую силы, направленную по скорости.

В случае периодической возмущающей силы будем иметь

Если амплитуду вынужденных колебаний в общем случае обозначить через А, то движение, вызываемое периодически меняющейся силой, описывается формулой

как это было показано в предыдущем разделе. Подставляя эти выражения в формулу (5.45), после несложных тригонометрических преобразований получаем мощность колебаний

Таким образом, мощность можно представить в виде суммы постоянной составляющей (средняя мощность) и периодической составляющей . Составляющая меняется с частотой, вдвое большей частоты возмущающей силы. Пользуясь терминологией, принятой в электротехнике, мощность можно назвать активной, а мощность — реактивной.

Подставляя соответствующие значения К и А, из справедливых в общем случае соотношений (5.46) легко найти выражения для

мощности во всех частных случаях. Так, для случая А из разд. 5.2.1.2, считая, что на массу действует сила имеем

Учитывая, далее, что получаем

Множитель имеет размерность мощности, можно рассматривать как безразмерные коэффициенты усиления для мощности. Эти выражения описывают влияние коэффициента демпфирования D и относительной частоты на величину мощности. Совершенно аналогично тому, как это делалось при построении амплитудных характеристик, можно построить «резонансные» кривые для мощности. Из (5.47) легко видеть, что как так и равен нулю при и при . Между тем оба семейства кривых независимо от величины D при имеют максимум, равный

Это означает, что при частоте возмущения средняя мощность (активная мощность) равна максимальному значению переменной мощности (реактивной мощности). Таким образом, при введении в колебательную систему определенной полезной мощности в системе должна развиваться такая реактивная мощность, максимальное значение которой имеет ту же самую величину, что и активная мощность. Если возмущение происходит не с частотой , то отношение активной мощности к реактивной уменьшается. Из (5.47) легко получить

Однако это выражение в точности повторяет ранее полученное выражение (5.41) для зависимость которого от и D можно видеть на рис. 148. Отсюда непосредственно видно, что если нам нужен осциллятор с возможно низкой реактивной мощностью, то лучше перейти к резонансному случаю.

Не проводя подробных вычислений, приведем выражения для активной и реактивной мощности в двух других случаях (см. разд. 5.2.1.2):

Случай Б:

Случай В:

Следует отметить, что отношение активной мощности к максимальной реактивной в обоих случаях имеет точно такое же значение, какое уже было найдено в случае А (формула (5.48)). Таким образом, сделанные там выводы справедливы и для случаев Б и В.

Графики коэффициентов усиления по мощности имеют иной вид, чем амплитудные характеристики, построенные на рис. 147— 149.

Рис. 150. Коэффициенты усиления по мощности, определяемые выражениями (5.50)

На рис. 150 в качестве примера показана функция для случая В. Первая формула (5.50) позволяет легко убедиться в том, что резонансный максимум полностью исчезает уже при весьма небольших значениях демпфирования. Кривые при монотонны, так что при этом развивается тем большая мощность, чем выше частота возмущения.

Совершаемую работу можно найти интегрированием мощности. Принимая во внимание равенство (5.46), получают работу внешней силы возмущения:

В этой работе также оказывается возможным выделить активную и реактивную составляющие. Активная работа растет линейно по времени, в то время как реактивная работа является периодической функцией времени. На практике интересуются прежде всего работой Е, совершаемой за одно полное колебание:

Наряду с внешней возмущающей силой работу совершают также и внутренние силы колебательной системы. При этом получаем следующие выражения для работы

Работа силы инерции равна кинетической энергии массы, а работа восстанавливающей силы равна потенциальной энергии напряженной пружины. При периодических движениях обе эти работы также меняются периодически и, имея разные знаки, исключаются из общего баланса энергии системы, если их величина рассчитывается для одного полного колебания. Таким образом, обе работы являются реактивными. Работа же, совершаемая силами демпфирования за один полный период, не исключается из общего баланса. При имеем

Рис. 151. Энергетическая диаграмма для вынужденных колебаний.

Сравнение энергии (5.52), поступающей в систему за счет внешних сил, с энергией (5.53), расходуемой на преодоление демпфирования, дает представление о механизме вынужденных колебаний. Здесь линейно зависит от амплитуды колебания , в то время как пропорциональна квадрату амплитуды. Эти зависимости можно нанести на график для какого-либо постоянного значения Q или соответственно и получить диаграмму, изображенную на рис. 151. Прямая пересекает параболу при т. е. при стационарном значении амплитуды. Если то в систему поступает больше энергии, нежели расходуется на преодоление сил демпфирования, и, следовательно, амплитуда увеличивается. Наоборот,

при потребляемая демпфированием энергия больше энергии, производимой внешней силой, и вследствие этого происходит уменьшение амплитуды. При обе работы равны между собой:

откуда и получается стационарная амплитуда