6.1.4. Гравитационный маятник на упругой нити

На частном примере гравитационного маятника, подвешенного на упругой нити (рис. 187), покажем, что связанные колебания не всегда можно представить путем простого сложения главных колебаний и что здесь могут иметь место значительно более сложные явления.

Если нить (или спиральная пружина) маятника, массой которой пренебрегают, в ненапряженном состоянии имеет длину

где . Используя эти выражения и уравнения Лагранжа второго рода, получаем

Теперь целесообразно ввести новую переменную х и следующие обозначения:

При этом уравнения (6.25) принимают вид

Общее решение этой нелинейной системы уравнений неизвестно. Однако нетрудно найти частное решение, для которого

Маятник в этом случае колеблется только вертикально, поэтому

Рис. 187. Маятник на упругой нити.

Это однопериодическое движение можно рассматривать как главное колебание. Однако второе главное колебание находится лишь тогда, когда предполагается, что и соответственно этому в уравнениях опускаются все члены высшего порядка (по переменным и ), начиная со второго порядка. Тогда сами переменные оказываются главными координатами, так как в уравнениях движения (6.26) остаются лишь левые части, в каждую из которых входит только одна перемен Хотя, таким образом, при дифференциальные уравнения формально становятся совершенно несвязан ными, все же возможно взаимное влияние обеих колебаний. В дан ном случае оно состоит в неустойчивости основного колебания (6.27).

Чтобы объяснить это взаимное влияние, рассмотрим близкие к основному колебанию (6.27) движения и для этого положим

причем отклонения от главных координат, отмеченные волной, предполагаются столь малыми, что по ним возможна линеаризация. При этом из уравнения (6.26) получаются новые уравнения для координат близкого движения:

Хотя для отклонений х и эти уравнения и не связаны друг с другом, все же в силу второго из них движение по координате зависит от основного движения х. Поэтому уравнение для имеет периодические коэффициенты, и его нужно исследовать способом, рассмотренным в гл. 4 для параметрических колебаний. Уравнение (6.28) для совпадает с уравнением типа (4.31) при

Оба коэффициента имеют одинаковую круговую частоту так что замена переменного (4.32) приводит к дифференциальному уравнению Хилла (4.33), причем единственный входящий в это уравнение коэффициент является периодическим с частотой

Из теории уравнения Хилла, которая ранее была рассмотрена для частного случая, а именно для уравнения Матье, известно, что если между собственной частотой осциллятора и частотой изменения коэффициента существуют определенные целочисленные отношения, то могут появляться области неустойчивости решения. В данном случае возможны неустойчивые решения в окрестности частот

Приближенно можно использовать полученные для уравнений Матье области устойчивости (рис. 128), отложив по оси абсцисс величину

Тогда видно, что область для , т. е. для является наиболее опасной в смысле возникновения связанных колебаний, так как она обладает наибольшей шириной. Область неустойчивости в данном случае расширяется тем больше, чем больше возрастает амплитуда X основного колебания.

Из этих рассуждений следует, что всегда возможное основное колебание (6.27), когда масса маятника колеблется вертикально, при определенном соотношении собственных частот может вызывать колебания по координате В силу закона сохранения энергии это, конечно, возможно лишь за счет амплитуды основного колебания. Таким образом, в процессе колебаний энергия колебаний по координате х перекачивается в энергию колебаний по координате и, как показывают эксперименты, этот процесс происходит периодически в обоих направлениях. Происходящие при этом процессы внешне очень похожи на обычные связанные колебания, однако в их основе лежит совершенно другой механизм возникновения. В то время как обычные связанные колебания ранее рассмотренного типа можно исследовать методом малых колебаний, т. е. путем линеаризации уравнений движения, описанные здесь явления принципиально нельзя объяснить, работая с линеаризованными уравнениями. На эти важные обстоятельства указал Меттлер (Ing.-Arch., 1959, Bd. XXVIII, 213-228).