3.1.2. Баланс энергии и фазовый портрет

Для понимания физической природы автоколебаний необходимо рассмотреть энергетический баланс колебаний. Наряду с формами энергии, используемыми для объяснения собственных

колебаний (потенциальной и кинетической энергий) в автоколебаниях определенную роль играют потеря энергии на преодоление сил демпфирования ED и подводимая извне энергия Если действующие в системе силы демпфирования незначительны, то происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, как это было в случае собственных колебаний. При автоколебаниях общее количество энергии, переходящей из одной формы в другую, зависит также от Здесь нет необходимости знать в каждый момент времени t; чтобы получить общую картину колебания, вполне достаточно знать , т. е. потерю энергии на преодоление сил демпфирования за период колебания, а также подводимую извне энергию за тот же период. Если то в течение каждого периода колебания энергия у системы отбирается и происходят затухающие колебания. Если, наоборот, то энергия системы увеличивается и колебания нарастают.

Как так и в общем случае являются функциями амплитуды. Если, например, сила демпфирования пропорциональна скорости а колебания могут быть описаны функцией то имеем

В этом случае AED возрастает пропорционально квадрату амплитуды, а кривая представляет собой параболу (верхняя часть рис. 86).

Вид функции подводимой энергии зависит от механизма возбуждения. На рис. 86 представлен случай, когда не зависит от А. Кривые пересекаются при . В области энергии больше подводится, чем потребляется, и, следовательно, амплитуда возрастает. Наоборот, в области амплитуда колебаний уменьшается, так как здесь Таким образом, ход построенных энергетических кривых позволяет сделать качественные выводы о характере колебаний.

Между энергетической диаграммой и фазовым портретом существует тесная взаимосвязь. Если для осциллятора справедливо равенство (как при на рис. 86), то возможны колебания постоянной амплитуды. На фазовом портрете колебательной системы такие чисто периодические колебания изображаются замкнутой фазовой траекторией, которая пересекает ось х при значении Эту фазовую траекторию называют предельным циклом, потому что она представляет собой траекторию, к которой при асимптотически приближаются соседние фазовые траектории фазового портрета. Для всех фазовых траекторий, проходящих

внутри предельного цикла, так что и амплитуда колебаний должна возрастать. Фазовые траектории в этом случае имеют форму раскручивающихся спиралей. Заштрихованная область внутри предельного цикла представляет собой область нарастающих до параметров предельного цикла колебаний. Наоборот, для всех фазовых траекторий вне предельного цикла и вместе с тем поэтому область вне предельного цикла является областью уменьшающихся до параметров предельного цикла колебаний. Фазовые траектории и в этом случае оказываются спиралями, но скручивающимися теперь к предельному циклу снаружи. Таким образом, области раскручивающихся и скручивающихся спиралей разграничиваются предельным циклом.

Рис. 86. Энергетическая диаграмма и фазовый портрет автоколебательной системы.

Рис. 87. Энергетическая диаграмма и фазовый портрет с двумя предельными циклами.

На рис. 86 показан простейший случай, ибо в общем случае кривые могут пересекаться многократно. Например, к часовому маятнику энергия в общем случае подводится только тогда, когда амплитуда колебания маятника становится меньше определенной величины. Подводимая энергия довольно быстро возрастает и при больших амплитудах приближается к некоторому постоянному значению. Кривая имеет при этом вид, показанный на энергетической диаграмме в верхней части рис. 87. Такая кривая

пересекается с параболообразной кривой в двух точках, соответствующих значениям амплитуды

На фазовом портрете (нижняя часть рис. 87) каждому из этих значений соответствует свой предельный цикл. В заштрихованной области между двумя предельными циклами амплитуды увеличиваются, в то время как в областях внутри меньшего предельного цикла и вне большего предельного цикла амплитуды уменьшаются. Из энергетической диаграммы легко видеть, что внутри малого предельного цикла все фазовые траектории представляют собой спирали, стягивающиеся к нулевой особой точке. Наоборот, все остальные фазовые траектории с течением времени приближаются к большему предельному циклу.

Фазовые портреты, приведенные на рис. 86 и 87, указывают на необходимость так расширить определение устойчивости (которое до сих пор было дано только для положения равновесия), чтобы оно охватывало и поведение фазовых траекторий в окрестности предельных циклов. В полной аналогии с определением устойчивости положения равновесия предельный цикл (а вместе с ним и соответствующие ему колебания) называется устойчивым, если фазовая траектория, начинающаяся при в окрестности данного предельного цикла остается в этой окрестности при всех . От более точного математического определения устойчивости здесь приходится отказаться.

Предельный цикл называется неустойчивым, если фазовая траектория, начинающаяся в его окрестности, с течением времени покидает эту окрестность.

Согласно этим определениям, предельный цикл на рис. 86 и больший предельный цикл на рис. 87 являются устойчивыми: все близрасположенные фазовые траектории приближаются к ним асимптотически. Наоборот, малый предельный цикл на рис. 87 неустойчив, поскольку все фазовые траектории покидают его окрестность.

Особая точка, расположенная в начале координат фазовой плоскости, на рис. 86 является особой точкой типа неустойчивого фокуса, а на рис. 87 — особой точкой типа устойчивого фокуса.

При описании поведения автоколебательных систем применяются также следующие понятия: устойчивой в малом называется система, для которой особая точка в начале координат фазовой плоскости соответствует устойчивому положению равновесия. В этом случае (как, например, на рис. 87) всегда существует область затухания колебаний, которая окружает положение равновесия и в которой все фазовые траектории сходятся по спиралям к особой точке в начале координат. Система с фазовым портретом, показанным на рис. 86, является неустойчивой в малом, так как начало координат находится в области нарастания колебаний.

Наоборот, обе системы (и на рис. 86, и на рис. 87) устойчивы в большом, так как в области вне большего предельного цикла колебания

уменьшаются. Система, у которой в области вне большего предельного цикла колебания нарастают, называется неустойчивой в большом.

Фазовый портрет, изображенный на рис. 87, показывает, что эти понятия не могут охватить все тонкости поведения системы, так как при этом ничего не говорится о фазовом портрете системы в области, заключенной между предельными циклами. Если при изучении устойчивости системы эта промежуточная область играет существенную роль, то для ее исследования нужно либо обратиться к энергетической диаграмме, либо использовать другие методы, о которых речь пойдет ниже.

Движение системы, фазовый портрет которой приведен на рис. 86, при сколь угодно малом начальном возмущении с течением времени будет приближаться к устойчивым колебаниям, соответствующим предельному циклу. При этом любая фазовая траектория, начинающаяся в окрестности особой точки, представляет собой раскручивающуюся спираль. Этот случай относится к так называемому мягкому возбуждению.

Наоборот, изображенный на рис. 87 фазовый портрет соответствует системе с жестким возбуждением. Если нужно получить устойчивые колебания, отвечающие внешнему устойчивому предельному циклу, то начальное возмущение должно быть таким, чтобы соответствующая фазовая траектория начиналась в кольцеобразной области нарастающих колебаний. При меньших начальных возмущениях система снова вернется в состояние покоя, так как она устойчива в малом.

Следует указать еще одно весьма существенное различие между автоколебаниями и ранее рассмотренными собственными колебаниями: на фазовом портрете, представляющем собственные колебания, также могут встречаться замкнутые траектории, охватывающие особую точку. Это всегда имеет место для консервативных систем, у которых возможны периодические колебания любой амплитуды в весь фазовый портрет состоит из замкнутых траекторий с особой точкой типа центра. Однако эти траектории не являются предельными циклами, так как соседние траектории не сближаются с ними асимптотически. Таким образом, на фазовом портрете консервативных систем нет областей ни нарастающих, ни убывающих колебаний.

Напротив, фазовую плоскость автоколебательных систем всегда можно разделить на области нарастающих и убывающих колебаний, разграниченные предельными циклами. Поэтому периодические движения автоколебательных систем возможны только при совершенно определенных значениях амплитуд, соответствующих точкам пересечения предельных циклов с осью абсцисс.