Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.4.6. Вынужденные колебания в автоколебательных системахВ качестве классического примера дифференциального уравнения автоколебательной системы в разд. 3.3.2 было приведено уравнение Ван дер Поля, которое описывало поведение лампового генератора. Теперь рассмотрим, какие явления следует ожидать, если на генератор дополнительно воздействует внешнее периодическое возмущение. Для этого дополним уравнение Ван дер Поля (3.55) членом, соответствующим гармоническому возмущению:
Нелинейный член этого уравнения был «гармонически линеаризован» уже при исследовании автоколебаний, причем в линеаризованном выражении стоящий перед х коэффициент определялся по формуле (3.18):
При этом вместо исходного уравнения (5.169) получается линейное уравнение
периодическое решение которого известно:
В силу (6.170) соотношение (5.171) снова является уравнением для А:
Это уравнение кубическое относительно
имеющее решение
Отсюда для каждого А можно найти соответствующее значение
Рис. 180. Амплитудные характеристики автоколебательной системы при вынужденных колебаниях. Прежде всего видно, что при
Для выбранных на рис. 180 значений
что после возведения в квадрат дает
Близкие к стационарному решению (5.175) кривые (5.176) в плоскости Для больших значений
Поясним этот результат, рассмотрев энергетический баланс системы. Энергия демпфирования, которая вследствие возможности автоколебаний может теперь превращаться в энергию возбуждения, будет, как и прежде, равна
Ее зависимость от амплитуды А показана на рис. 181. Кривая
Для простейшего случая Согласно представленной на рис. 181 энергетической диаграмме, для других значений амплитуд не может иметь места равенство энергий, так что необходимое условие осуществления периодических колебаний не выполняется. Однако, как видно из рис. 180, при 1 по меньшей мере для малых значений
Рис. 181. Энергетическая диаграмма для автоколебательной системы при вынужденных колебаниях. Такое исследование показывает, что система неустойчива по фазе, т. е. должно быть справедливым не только равенство Полученный результат заслуживает особого внимания. Он показывает, что возможны устойчивые вынужденные колебания, частота которых близка к Область затягивания тем шире, чем больше амплитуда возмущения. В окрестности установившегося решения (5.175) ее нетрудно найти, так как она соответствует горизонтальной оси эллипса, описываемого уравнением (5.176). Таким образом,
где
Эффект затягивания используется в технике для синхронизации генераторов колебаний (например, часов). Он может проявляться и как сопутствующее явление и быть желательным или нежелательным. Явление затягивания положительно сказывается на игре большого оркестра, где смычковые и духовые инструменты являются автоколебательными системами, подвергающимися воздействиям звуковых волн остального оркестра. Если на одном из инструментов играют не совсем чисто, то при не слишком большой расстройке остальной оркестр вследствие явления затягивяния сможет изменить тон этого инструмента, так что расстройка не будет сказываться. Весь оркестр можно рассматривать как систему автоколебательных осцилляторов, которые при игре самостоятельно настраиваются на некоторый средний тон.
|
1 |
Оглавление
|