5.4.6. Вынужденные колебания в автоколебательных системах

В качестве классического примера дифференциального уравнения автоколебательной системы в разд. 3.3.2 было приведено уравнение Ван дер Поля, которое описывало поведение лампового генератора. Теперь рассмотрим, какие явления следует ожидать, если на генератор дополнительно воздействует внешнее периодическое возмущение. Для этого дополним уравнение Ван дер Поля (3.55) членом, соответствующим гармоническому возмущению:

    (5.169)

Нелинейный член этого уравнения был «гармонически линеаризован» уже при исследовании автоколебаний, причем в линеаризованном выражении стоящий перед х коэффициент определялся по формуле (3.18):

    (5.170)

При этом вместо исходного уравнения (5.169) получается линейное уравнение

периодическое решение которого известно:

    (5.171)

В силу (6.170) соотношение (5.171) снова является уравнением для А:

    (5.173)

Это уравнение кубическое относительно и лишь квадратное относительно Поэтому сгруппируем члены по и получим уравнение

имеющее решение

Отсюда для каждого А можно найти соответствующее значение и рассчитать таким образом амплитудные характеристики . На рис. 180 некоторые из таких характеристик построены в плоскости для различных значений

Рис. 180. Амплитудные характеристики автоколебательной системы при вынужденных колебаниях.

Прежде всего видно, что при , т. е. при отсутствии внешнего возмущения, получается уже известное решение для автоколебаний:

    (5.175)

Для выбранных на рис. 180 значений имеем Теперь посмотрим, что получится из стационарного решения при малых

отличных от нуля. В этом случае следует ожидать, что решения будут находиться в окрестности стационарного решения (5.175). Поэтому, полагая где преобразуем выражение (5.174) в следующее:

что после возведения в квадрат дает

    (5.176)

Близкие к стационарному решению (5.175) кривые (5.176) в плоскости представляют собою эллипсы, полуоси которых с ростом 0 увеличиваются. При эти эллипсы стягиваются к стационарной точке

Для больших значений амплитудные характеристики должны определяться из уравнения (5.174). Как и в ранее рассмотренных примерах, предполагается, что не все определяемые уравнением (5.174) ветви амплитудных характеристик соответствуют устойчивым, т. е. физически реализуемым колебаниям. Опустим здесь довольно сложное исследование устойчивости и приведем только его результаты. Все части амплитудных характеристик, расположенные на рис. 180 ниже штриховой кривой, не могут быть реализованы, т. е. неустойчивы. Граница области устойчивости в своей средней части является геометрическим местом точек, в которых амплитудные характеристики имеют вертикальные касательные, а по краям представляет собой горизонтальную прямую

Поясним этот результат, рассмотрев энергетический баланс системы. Энергия демпфирования, которая вследствие возможности автоколебаний может теперь превращаться в энергию возбуждения, будет, как и прежде, равна

    (5.178)

Ее зависимость от амплитуды А показана на рис. 181. Кривая пересекает ось А при амплитуде автоколебаний Поступающая от возмущения энергия Ее i как было уже показано ранее равна

    (5.179)

Для простейшего случая кривая представляет собой прямую, так как при . Эта прямая нанесена на рис. 181. Равенство энергий соответствует точке пересечения кривых , т. е. одному и только одному значению , большему Эта амплитуда отвечает верхним частям кривых, построенных на рис. 180. Соответствующие колебания устойчивы, так как при меньшей амплитуде энергия поступает в осциллятор, а при большей, наоборот, отбирается. Таким образом, в обоих случаях амплитуда колебаний стремится к стационарной.

Согласно представленной на рис. 181 энергетической диаграмме, для других значений амплитуд не может иметь места равенство энергий, так что необходимое

условие осуществления периодических колебаний не выполняется. Однако, как видно из рис. 180, при 1 по меньшей мере для малых значений возможны периодические колебания с тремя различными амплитудами. Это противоречие можно объяснить при более детальном исследовании устойчивости

Рис. 181. Энергетическая диаграмма для автоколебательной системы при вынужденных колебаниях.

Такое исследование показывает, что система неустойчива по фазе, т. е. должно быть справедливым не только равенство но и равенство . Поэтому во внимание нужно принимать и штриховую прямую — , показанную на рис 181. Точки пересечения этой прямой с кривой в точности соответствуют изображенным на рис. 180 нижним ветвям характеристик.

Полученный результат заслуживает особого внимания. Он показывает, что возможны устойчивые вынужденные колебания, частота которых близка к . Если происходят эти вынужденные колебания, то автоколебания как бы «затягиваются» (или «захватываются») возмущением по частоте и их частота отклоняется от значения . В этом случае говорят об эффекте затягивания.

Область затягивания тем шире, чем больше амплитуда возмущения. В окрестности установившегося решения (5.175) ее нетрудно найти, так как она соответствует горизонтальной оси эллипса, описываемого уравнением (5.176). Таким образом,

где

Эффект затягивания используется в технике для синхронизации генераторов колебаний (например, часов). Он может проявляться и как сопутствующее явление и быть желательным или нежелательным. Явление затягивания положительно сказывается на игре большого оркестра, где смычковые и духовые инструменты являются автоколебательными системами, подвергающимися воздействиям звуковых волн остального оркестра. Если на одном из инструментов играют не совсем

чисто, то при не слишком большой расстройке остальной оркестр вследствие явления затягивяния сможет изменить тон этого инструмента, так что расстройка не будет сказываться. Весь оркестр можно рассматривать как систему автоколебательных осцилляторов, которые при игре самостоятельно настраиваются на некоторый средний тон.