4.4. Математический маятник с параметрическим возбуждением
4.4.1. Постановка задачи и ее решение по областям
Рассмотрим на примере математического маятника с периодически меняющейся длиной влияние нелинейности характеристики возмущения на поведение параметрически возбуждаемого осциллятора. Уравнение движения такого осциллятора было уже составлено в разд. 4.1.6 (уравнение (4.9)) и имело вид
В разд. 4.2 на основании простых энергетических соображений были установлены математические зависимости для роста амплитуды в тех условиях, когда длина маятника меняется скачкообразно в моменты изменения направления движения и в моменты прохождения через нуль. Там же указывалось, что такой осциллятор типа
качелей можно считать самовозбуждающейся системой, поскольку длину маятника можно рассматривать как функцию 
. В этом разделе мы покажем, что раскачивание возможно и при чисто параметрическом возбуждении.
Рассмотрим математический маятник, движение которого описывается уравнением (4.51), и предположим, что длина маятника скачкообразно меняется по закону
(см. рис. 131).
В отличие от осциллятора типа качелей скачкообразные изменения длины маятника зависят теперь не от его положения, а происходят согласно заранее заданному постоянному периодическому закону с периодом 
Рис. 131. Изменение длины L нити математического маятника 
параметрическом возбуждении.
Для выбранного закона изменения длины маятника во времени (4.52) можно получить точное решение задачи. В пределах каждого из двух интервалов 1 или 2 имеем 
Поэтому в уравнении (4.51) второй член равен нулю, и, следовательно, в промежутках между скачками справедливо известное уравнение свободных колебаний гравитационного маятника:
Здесь 
— собственная круговая частота малых свободных колебаний маятника, введенная для сокращения записи. Уравнение (4.53) было исследовано в разд. 2.1.3.2, и там было получено его решение (2.81):
Здесь 
— максимальное отклонение, 
— модуль эллиптической функции 
постоянная 
позволяет надлежащим образом выбрать начало отсчета времени. Необходимо также найти угловую скорость маятника 
, так как она будет использоваться в
дальнейшем; из (4.54) по правилам дифференцирования эллиптических функций получаем
Теперь запишем общие решения (4.54) или (4.55) для обеих областей, обозначив их соответствующими индексами. Так, в области 1 имеем
где 
Аналогично в области 2 получаем
В дальнейшем нам потребуется также величина
В точках перехода от одной области к другой решения, полученные для различных областей, должны быть припасованы. Переход должен быть таким, чтобы координата 
менялась непрерывно, а 
при этом не будет непрерывной. Лучше всего это видно из закона изменения момента количества движения: в те промежутки времени (предполагаемые исчезающе малыми), когда масса маятника принудительно поднимается или опускается, действующие на нее силы (сила тяжести и сила натяжения нити) не могут оказать сколько-нибудь заметного влияния на момент количества движения относительно точки подвеса и, следовательно, этот момент остается неизменным:
Таким образом, условие припасовывания решений с учетом (4.58) можно представить в виде
