1.4. Фазовые траектории и фазовый портрет

С векторным изображением тесно связано представление колебаний в так называемой фазовой плоскости. Однако изображение в фазовой плоскости более наглядно и особенно хорошо представляет негармонические колебания. Фазовый портрет колебания получается следующим образом: скорость движения откладывается по оси ординат, а отклонение х — по оси абсцисс фазовой плоскости. Каждому движению в момент времени t соответствует изображающая точка на указанной плоскости с координатами однозначно определяемая мгновенными значениями отклонения х и скорости Изображающая точка с течением времени перемещается, описывая фазовую траекторию (рис. 11). В этом представлении время играет роль параметра: уравнение фазовой траектории задано зависимостью между координатой и скоростью

Рис. 11. Фазовая траектория, т. е. траектория движения в скости х, V.

Недостатком фазового портрета является невозможность непосредственного представления процесса во времени, но этот недостаток компенсируется большим преимуществом: здесь из чисто геометрического представления фазовой траектории или семейства фазовых траекторий можно сделать важные заключения о свойствах колебаний

Рассмотрим прежде всего простой пример: определим фазовую траекторию гармонического колебания, для которого

Возведение в квадрат и порледующее сложение позволяют исключить время, так что зависимость между х и v принимает вид

На фазовой плоскости такое уравнение описывает эллипс с полуосями А и (рис. 12). В случае этот эллипс превращается в окружность. Однако окружность можно получить и для любой частоты , изменив масштаб по оси ординат и откладывая по ней не .

Для изображенного на рис. 3, а колебания треугольной формы скорость v кусочно постоянна: ее направление скачкообразно меняется на противоположное в каждой поворотной точке движения. Как легко видеть, в этом случае фазовая траектория представляет собой прямоугольник (рис. 13). Такая же фазовая траектория, но при другой зависимости от времени t, получается для трапецеидального колебания (рис. 3, в).

Рис. 12. Фазовая траектория гармонического колебания.

Рис. 13. Фазовая траектория треугольного колебания.

Фазовая траектория пилообразного колебания тоже будет прямоугольником, только нижняя сторона прямоугольника сдвинута в сторону большего отрицательного значения и. Наконец, в случае фазовой траектории прямоугольного колебания оба горизонтальных участка траектории скользят в бесконечность соответственно вверх и вниз, так что остаются только две прямые, параллельные оси ординат и пересекающие ось абсцисс в точках +А и —А.

Процесс изменения во времени, который не представляется в явном виде уравнением фазовой траектории, можно определить интегрированием. Если уравнение траектории задано в виде , то, разделяя переменные, получаем

и, интегрируя, находим

Таким образом, для гармонического колебания с фазовой траекторией (1.19) в силу зависимости

получается период

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства фазовых траекторий. Непосредственно видно, что каждая фазовая траектория в верхней полуплоскости может проходить только слева направо, а в нижней полуплоскости — только справа налево. В верхней полуплоскости всегда и, следовательно, величина х может только возрастать; в нижней полуплоскости, наоборот, и величина х может только убывать. Таким образом, направление движения изображающей точки по фазовой траектории определяется однозначно; на рис. 11—13 оно показано стрелками.

В точках пересечения с осью абсцисс все фазовые траектории имеют вертикальные касательные. Это следует из того, что точка пересечения с осью абсцисс характеризуется значением скорости, равным нулю. Однако когда скорость величина х имеет стационарное значение и, следовательно, касательная к фазовой траектории в точке пересечения с осью абсцисс должна быть вертикальной. Одновременно точки пересечения с осью абсцисс определяют экстремальные значения х, т. е. амплитуду колебания. Отсюда следует, что ни в одной точке верхней или нижней полуплоскости фазовая траектория не может иметь вертикальную касательную, ибо в каждой точке, где касательная вертикальна, будь то экстремальное значение или точка перегиба, скорость должна быть равной нулю. Возможны исключения, когда определенные вырожденные фазовые траектории пересекают абсциссу не вертикально, но тогда точка пересечения всегда является так называемой особой точкой. Подробнее об этом будет сказано ниже.

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора.

В качестве простого примера рассмотрим массу, подвешенную на пружине. После толчка масса совершает колебательное движение с некоторой амплитудой А, а соответствующая фазовая траектория является эллипсом или хотя бы подобна эллипсу. При других начальных условиях колебания происходят с другой амплитудой, но носят тот же характер, так что фазовый портрет осциллятора, состоящего из массы и пружины, представляется семейством концентрических эллипсов (рис. 14). В фазовый портрет целесообразно

включить и положение равновесия осциллятора, т. е. точку Из геометрических соображений следует, что это единственная особая точка фазовой плоскости.

Положение равновесия осциллятора всегда представляется особой точкой фазовой плоскости. Легко видеть, что такая точка может лежать только на оси х, так как в противном случае состояние покоя невозможно.

Рис. 14. Фазовый портрет гармонического осциллятора.

Рис. 15. Фазовая траектория демпфированного колебания.

Рис. 16. Фазовый портрет осциллятора с сильным демпфированием.

По виду фазовых траекторий, окружающих особые точки, различают следующие типы этих точек: центр, фокус, узел и седло. Эти понятия, заимствованные из теории дифференциальных уравнений оказались очень полезными для описания поведения колебательной системы.

На рис. 14 показана особая точка типа центра. Она характерна для незатухающих колебаний около положения равновесия. При наличии демпфирования каждый эллипс переходит в спираль (рис. 15), а особая точка в начале координат становится фокусом.

Если демпфирование слабое, то спираль состоит из большого числа близко расположенных витков. Чем сильнее демпфирование, тем дальше витки отстоят друг от друга. При очень сильном демпфировании фазовый портрет меняется и качественно, принимая вид, показанный на рис. 16. Здесь начало координат является узлом. В особой точке все фазовые траектории касаются проходящей через нее наклонной прямой и вдоль этой прямой стягиваются в особую точку.

Особая точка достигается лишь по истечении бесконечно большого времени. Это легко установить, исследуя процесс движения

во времени при помощи интеграла (1.20). В непосредственной окрестности особой точки любую фазовую траекторию можно приближенно представить прямой Подстановка этого уравнения в (1.20) дает

или

Таким образом, особая точка может быть достигнута лишь асимптотически и касательные к фазовым траекториям, пересекающим ось абсцисс в особой точке, не вертикальны.

Рис. 17. Фазовый портрет с особой точкой типа седла.

На рис. 17 представлен фазовый портрет системы с особой точкой типа седла. Он характеризуется тем, что через особую точку проходят две вырожденные фазовые траектории (сепаратрисы), а остальные траектории похожи на гиперболы. Ниже мы увидим, что особая точка такого типа соответствует неустойчивому положению равновесия осциллятора.

Приведенные здесь фазовые портреты являются «стандартными блоками», из которых строятся рассматриваемые в дальнейшем фазовые портреты реальных осцилляторов. Следует также заметить, что можно применять модифицированные фазовые плоскости. Так, чтобы получить фазовые траектории более простого вида, иногда целесообразно откладывать по оси ординат вместо скорости v ее подходящую функцию, а по оси абсцисс — подходящую функцию от х соответственно. Успешно применяются и фазовые плоскости, где оси координат не прямоугольные, а косоугольные.