4.2. Колебания качелей

В качестве типичного примера параметрически самовозбуждаемой системы рассмотрим качели. Как известно, качели приводятся в движение таким ритмическим сгибанием и выпрямлением тела (или периодическим сгибанием и выпрямлением колен), что центр тяжести системы поднимается, когда качели проходят через низшую точку, и опускается, когда качели достигают высшей точки (области максимального отклонения). Качели вместе с качающимся на них человеком с вполне достаточной точностью можно рассматривать как математический маятник, длина которого периодически меняется

Рис. 125. К расчету колебаний качелей.

(что соответствует перемещению центра тяжести качелей в направлении веревки). Таким образом, качели в точности соответствуют примеру, рассмотренному в разд. 4.1.6. Это соответствие будет особенно наглядным, если представить перемещение центра тяжести как процесс, происходящий за бесконечно короткое время, т. е. мгновенно. При этом получается идеализированная модель, представленная на рис. 125. Длина маятника принимает два значения: причем большее значение соответствует движению от точки максимального отклонения к наинизшей точке, т. е. относится к фазе спуска, а меньшее значение соответствует фазе подъема. Траектория центра тяжести представляет собой петлеобразную кривую.

Заметим, что качели могут служить примером осциллятора с чистым самовозбуждением, так как длина маятника может быть однозначно выражена как функция величин Например, для случая, представленного на рис. 125, имеем

Однако нецелесообразно подставлять это выражениев уравнение (4.9), так как при этом потребуется производная по времени от скачкообразно меняющейся функции. Проще и нагляднее использовать энергетические соображения, так как тогда легко не только установить закономерности возникновения колебаний, но и выяснить, как влияют на движение демпфирование и сухое трение.