2.1.3.5. Осциллятор с кусочно линейной восстанавливающей силой.

В многочисленных прикладных задачах теории колебаний восстанавливающая сила нелинейна в целом, но линейна в отдельных интервалах значения х. Некоторые такие осцилляторы будут исследованы ниже.

Прежде всего рассмотрим осциллятор, восстанавливающая сила которого записывается следующим образом:

Здесь восстанавливающая сила имеет постоянное значение, не зависящее от величины отклонения х, но меняет знак при прохождении осциллятора через нулевое положение. Восстанавливающая сила такого вида действует, например, на массу, которая скользит или катится вдоль прямой, имеющей излом в нулевой точке (рис. 56).

Кроме того, восстанавливающая сила, описываемая формулами (2.96), часто имеет место в релейных системах управления, например в осцилляторе, изображенном на рис. 57.

Рис. 56. Осциллятор качения на плоскости с изломом.

Рис. 57. Релейный осциллятор с разрывной восстанавливающей силой.

Этот осциллятор посредством скользящего контакта и двух контактных шин переключает электромагнит. Возникающие при этом электромагнитные силы регулируют движение осциллятора.

Решение уравнений движения теперь нужно искать по отдельности для случаев . Если мы рассматриваем область , то

Предполагая, что в нулевой момент времени осциллятор находится как раз в одном из своих крайних положений, начальные условия можно записать так:

Если теперь из второго уравнения (2.97) найти время t и подставить его значение в третье уравнение, то получится соотношение, связывающее , т. е. уравнение фазовой траектории. Это уравнение можно привести к виду

Таким образом, на фазовой плоскости получаются симметричные относительно оси х параболы, вершины которых лежат на оси х на расстоянии А (рис. 58).

Фазовые траектории симметричны как относительно оси х, так и относительно оси v. Поэтому период колебания Т можно определить как учетверенную величину времени прохождения одного квадранта. Это время непосредственно определяется из уравнений

    (2.100)

Период колебаний в этом случае возрастает пропорционально корню квадратному из амплитуды; колебания, как и следовало ожидать, неизохронны.

Если контактные шины изображенного на рис. 57 осциллятора не близки одна к другой, а разделены определенным расстоянием, то в окрестности нулевой особой точки имеется область, в которой восстанавливающая сила отсутствует. Ширину этой области, называемой мертвой зоной, обозначим через . Тогда восстанавливающая

сила будет равна

    (2.101)

В соответствии с тремя значениями, которые может принимать восстанавливающая сила, анализ движения выполняется в три приема.

Рис. 68. Фазовый портрет осциллятора с восстанавливающей силой

Рис. 59. Фазовый портрет осциллятора, имеющего мертвую зону.

Для областей остаются справедливыми результаты, полученные в предыдущем случае, т. е. справедливо уравнение (2.98). Поэтому фазовые траектории, лежащие как справа от прямых так и слева от прямых являются параболами. На промежуточном участке, где имеем

    (2.102)

Отсюда видно, что в средней области фазовые траектории представляются горизонтальными отрезками. При этом получается фазовый портрет, изображенный на рис. 59. Он получается из портрета, приведенного на рис. 58, следующим образом: портрет на рис. 58 разрезается посередине и обе его половины сдвигаются в разные стороны по горизонтали на величину . После этого траектории соединяются горизонтальными прямыми, лежащими в мертвой зоне.

При расчете периода колебания нужно определить время и время , за которое изображающая точка проходит расстояние от точки до прямой и расстояние от прямой до оси х соответственно; тогда

    (2.103)

Чтобы найти время надо подставить в уравнение и разрешить результат относительно t:

Скорость при достижении прямой следует из (2.97):

Подставив это выражение в (2.102) и положив получим

Согласно (2.103), теперь весь период колебания будет равен

При снова получается приведенное выше выражение (2.100). Применяемый здесь способ решения уравнений движения по областям с последующей стыковкой решений на границах областей называется методом припасовывания. Он широко применяется в случае кусочно линейных восстанавливающих и возмущающих сил, в особенности при исследовании сложных систем, применяемых, например, в технике регулирования.