6.2.5. Переход к колебаниям сплошной среды

С увеличением числа степеней свободы можно без особых трудностей перейти к колебаниям сплошной среды. Хотя в общем случае колебания сплошной среды целесообразнее непосредственно описывать уравнениями движения этой среды, мы все же опишем соответствующий предельный переход в частном случае однородной колебательной цепи.

Если представить себе, что на рис. 192, а количество масс и пружин бесконечно увеличивается, а сами массы и пружины соответственно уменьшаются, то рассматриваемая цепь постепенно превратится в струну. Таким образом, представляется возможность получить формулы для продольных колебаний струны из результатов предшествующих разделов посредством предельного перехода. Чтобы обозначения совпадали с обозначениями разд. 2.1.1.6, где было выведено уравнение колебаний струны, обозначим смещение элементарной массы через а ее координату через х. Если расстояние между двумя массами цепи составляет а общая длина цепи равна L, то в пределе будем иметь

Вместе с этим оказывается возможным непосредственно использовать результат. (6.80), полученный для собственных колебаний цепи. Так как

решение (6.80) принимает вид

Это решение удовлетворяет заданным граничным условиям

для всех собственных частот и, кроме того, имеет уже признанную возможной выше форму произведения (см. формулу ). Функции G и F удовлетворяют дифференциальным уравнениям (2.49) и (2.50), откуда видно, что для согласования с предыдущими обозначениями следует положить

(Здесь с заменено на с, чтобы не спутать его с жесткостью пружины, ранее обозначавшейся тоже через с.) Таким образом, решение (6.94) принимает следующий вид:

Согласно этому, общее решение состоит из суммы бесконечно большого числа гармоник — однопериодических собственных колебаний. Каждое такое собственное колебание представляет собой стоячую волну, которая имеет тем больше узлов и пучностей, чем выше частота этого колебания. Распределение амплитуд, приведенное на рис. 194, можно рассматривать и как распределение амплитуд колеблющейся струны.

Решение (6.96) содержит два бесконечных набора постоянных, которые снова должны быть определены из начальных условий при ; таким образом,

Поскольку q принимает замечания и выполняется равенство (6.95), эти бесконечные суммы можно считать рядами Фурье для начальной формы и начальной скорости струны. Но тогда искомые постоянные оказываются просто коэффициентами Фурье:

Для рассматриваемого здесь случая струны с закрепленными концами соотношение ортогональности (6.81) принимает вид

Оно относится только к формам собственных колебаний, так как время в него не входит. При других граничных условиях его следует соответствующим образом обобщить.