5.4.4. Верхние, нижние и комбинационные частоты при вынужденных колебаниях

При гармоническом возмущении в линейных системах с одной степенью свободы имеется только один резонанс, для которого частота возмущения приближенно или точно равна собственной частоте осциллятора. В нелинейных системах, наоборот, возможны многочисленные другие типы резонанса. Покажем это на примере недемпфированного осциллятора, причем возьмем довольно общий случай, когда возмущающая функция состоит из двух гармоник:

    (5.160)

Представим нелинейную функцию восстанавливающей силы рядом Тейлора

    (5.161)

где постоянный член обращается в нуль за счет надлежащего выбора начала отсчета х. Тогда решение уравнения движения (5.160) можно получить рассмотренным ранее методом итераций. При этом приближение получается из с помощью рекуррентного уравнения

    (5.162)

При на первом шаге получим решение

При этом из соображений, которые станут понятными позже, предполагаются такие начальные условия, которые не вызывают собственных колебаний.

Если теперь подставить первое приближение (5.163) в правую часть рекуррентного уравнения (5.162), то получится множество периодических возмущающих членов с различными частотами. В силу известных тригонометрических соотношений

член содержит периодические компоненты с частотами

член — с частотами

Уже при втором итерационном шаге в решении появляются все возможные линейные комбинации двух исходных частот Дальнейшие итерации не вносят ничего принципиально нового, и поэтому можно утверждать, что в общем случае решение будет содержать частоты

Частоты, пропорциональные частотам возмущения, называются верхними частотами, а соответствующие их суммам частоты — комбинационными. В акустике последние известны под названием комбинационных тонов Гельмгольца.

Влияние отдельного гармонического возмущения на общую форму вынужденных колебаний зависит не только от типа функции и соответственно от коэффициентов в; разложения в ряд Тейлора, но прежде всего от того, насколько

частота этого возмущения отличается от собственной частоты осциллятора. За счет резонанса может произойти усиление отдельных, ничем не выделяющихся гармоник. В технике резонансы подобного рода с верхними частотами проявляются как дополнительные, большей частью нежелательные колебательные процессы Нежелательные комбинационные тона можно наблюдать в плохих громкоговорителях.

Теперь вкратце расскажем о влиянии собственных колебаний, которые были произвольно опущены в этом процессе итерации. Если в первом приближении (5163) для собственных колебаний принять , то в процессе итерации будут появляться гармоники не только с частотами, кратными собственной частоте и ее комбинациям, но и с частотой собственных колебаний. При следующем шаге итерации это дало бы резонансное решение с бесконечно большой амплитудой. Однако указанная трудность вызвана исключительно способом приближения, не имеет ничего общего с физической стороной дела и ее можно избежать при более точных расчетах. Дальнейшие подробности можно найти в специальной литературе (см., например, (10]).

В нелинейных системах возможны вынужденные колебания не только с верхними частотами, но и с нижними частотами, составляющими лишь часть от частоты возмущения. Здесь мы ограничимся рассмотрением одного частного примера: движение осциллятора с восстанавливающей силой, пропорциональной третьей степени отклонения, при гармоническом возмущении описывается дифференциальным уравнением

    (5.165)

При определенных предположениях этот осциллятор может совершать гармонические колебания, частота которых составляет одну треть частоты возмущения. Положив

после подстановки в (5.165) и тригонометрических преобразований найдем

Полученное условие выполняется для

    (5.167)

При этом частота снова является зависящей от амплитуды частотой собственных колебаний нелинейного осциллятора. Впрочем, этот пример показывает также, что в нелинейных системах возможны гармонические колебания. Их возникновение можно объяснить тем, что из-за наличия нелинейного члена колебания тройной частоты непосредственно компенсируются возмущением (см. формулу (5.166)). Правда, такая компенсация возможна только при совершенно определенной амплитуде возмущения.

Аналогично тому как это было сделано в приведенном выше примере, в общем случае можно показать, что при других восстанавливающих

функциях возможны также колебания с нижними частотами любых других порядков, так что осциллятор может колебаться с частотами целое число). Если теперь принять во внимание, что колебания с нижними и верхними частотами могут существовать одновременно, то становится ясным, что возможны и колебания, частоты которых находятся в произвольном рациональном отношении к возмущающей частоте, где — целые числа. Если на систему одновременно действуют возмущения с различными частотами, то из-за возникающих комбинационных колебаний число возможных частот колебаний становится гораздо больше.

Колебания с нижними частотами находят важное применение в технике, например при понижении частоты в кварцевых и атомных часах