4.3.3. Приближенные методы решений

Для уравнения Матье, уравнения Хилла и некоторых других уравнений диаграммы устойчивости уже построены, однако часто требуется приближенно определить области устойчивости для уравнений, еще не исследованных столь детально, и особенно для систем уравнений. Не вдаваясь в подробности, наметим путь, ведущий к этой цели.

Если отклонения некоторого параметра от его нормального значения остаются малыми, например в случае уравнения Матье то целесообразен метод возмущений, при котором решение представляется степенным рядом по степеням параметра у:

Это выражение подставляют в дифференциальное уравнение и располагают члены по степеням . Функции входящие в выражение (4.49), можно последовательно определить приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях у. Система уравнений для определения величин иногда решается очень просто, если ограничиться отысканием периодического решения, т. е. границы между областью устойчивости и областью неустойчивости; подробности можно найти, например, в книгах Стокера [19, гл. VI, § 5] и И. Г. Малкина [14, гл. V, § 62].

Если осциллирующее слагаемое не мало, так что ряд для возмущения сходится медленно или не сходится совсем, то границы области устойчивости можно определить путем нахождения периодических решений при помощи ряда Фурье:

Частоту в этом методе можно выразить через частоту изменения параметра . Она или непосредственно равна последней, или связана с ней рациональным отношением. После подстановки выражения (4.50) в исходное уравнение члены, содержащие одинаковые гармоники, объединяются; исходное уравнение удовлетворяется, если коэффициенты при всех гармониках обращаются в нуль. Это условие приводит к системе с бесконечным числом уравнений для определения амплитудных множителей Такую систему уравнений можно решить путем итераций, пользуясь известными методами прикладного анализа.