5.3. Применение теории резонанса

5.3.1. Приборы для измерения колебаний

Для указания регистрации и измерения колебаний могут применяться самые разнообразные приборы. Мы выберем лишь несколько примеров, чтобы пояснить на них возникающие при этом вопросы.

Рис. 164. Шлейфовый осциллограф.

Одним из наиболее известных приборов для регистрации измерения параметров колебаний является шлейфовый осциллограф, принцип устройства которого показан на рис. 164. Две параллельные части петлеобразной тонкой проводящей ленты (шлейфа) находятся в магнитном поле; лента натянута укрепленным на пружине роликом и закреплена двумя планками; между планками на ленте помещено маленькое зеркало. Когда по ленте протекает ток, на обе части ленты действуют противоположные силы, обусловленные магнитным полем. При этом зеркало поворачивается, а отклонение отраженного от зеркала светового луча может служить мерой величины тока, протекающего по ленте. Лента и зеркало образуют осциллятор, уравнение движения которого может быть приведено к известному виду

где х — отклонение светового луча на регистрирующей бумаге, а является мерой величины тока. Демпфирование достигается тем, что шлейф помещен в сосуд с маслом.

Прибор применяется для измерения протекающего через шлейф тока, т. е. величины . Однако отклонение зеркала (соответственно светового зайчика) пропорционально величине х, которая связана с входной величиной уравнением (5.85). Только при стационарных, т. е. не зависящих от времени, величинах величина х также будет по истечении некоторого времени (прекращении переходного процесса) принимать стационарное значение, и только в этом

случае, согласно уравнению (5.85), действительно будет выполняться равенство

В отличие от этого при всех меняющихся во времени значениях показания прибора дают величину х, которая в той или иной мере отклоняется от подлежащей измерению величины . В связи с этими рассуждениями возникают два вопроса:

1) каким образом в общем случае по х найти искомую величину

2) при каких условиях х можно рассматривать как приемлемое приближение для

На первый из указанных вопросов ответить в принципе просто: можно получить величину дважды продифференцировав измеряемую величину х, а затем из х и ее производных по времени составить выражение, стоящее в левой части уравнения (5.85). Однако нахождение производных по измеряемым кривым является весьма ненадежным делом и в общем случае может привести к значительным ошибкам. Поэтому пользоваться предложенным выше способом имеет смысл только тогда, когда дополнительные члены с производными по времени можно рассматривать лишь как малые поправки, которые добавляются к основному члену

Второй вопрос характеризует основную проблему техники измерения колебаний. Ее нельзя решить в общем случае, т. е. для совершенно произвольных входных функций но для функций, которые либо сами являются периодическими, либо могут быть аппроксимированы периодическими функциями, можно сделать некоторые важные выводы. Для этого случая в силу принципа суперпозиции достаточно рассмотреть чисто гармоническую входную функцию

Таким образом, для уравнения (5.85), как известно, получается частное решение

с коэффициентом усиления (5.40). Выходная величина х совпадает с входной величиной если

С первого взгляда на рис. 146 и 147 становится ясным, что это условие может выполняться только при , т. е. при , а это соответствует «бесконечно медленному» колебанию, т. е. «стационарному» процессу.

Если условия (5.88) для колебаний с выполняются нестрого, то можно добиться их приближенного выполнения с обычно достаточной для практических целей точностью, выбрав . Это равносильно случаю, когда Таким образом, собственная частота

прибора должна быть много больше частот, которые желают измерить. В этом случае говорят о квазистатическом или же докритическом измерении, так как измеряемые частоты Q лежат ниже критической собственной частоты

Как же выбрать коэффициент демпфирования D измеряющего прибора-осциллятора? На рис. 147 видно, что при требуемое условие достаточно хорошо выполняется в интервале частот приблизительно Правда, при этом условие не выполняется. Последнее условие в качестве наилучшего значения дало бы (см. рис. 146), т. е. значение, которое нельзя ни реализовать» ни требовать, так как недемпфированные собственные колебания не позволили бы производить измерения. Поэтому измерительный прибор всегда выполняют с достаточным демпфированием и одновременно заботятся о том, чтобы возникающие ошибки измерения или искажения оставались как можно меньшими. Чтобы это пояснить, рассмотрим возможные искажения несколько подробнее.

Искажения при измерении колебаний, состоящих из многих гармонических составляющих, могут возникнуть, во-первых, за счет изменений отношения амплитуд составляющих колебаний (амплитудное искажение) и, во-вторых, за счет сдвигов их фаз, которые не пропорциональны соответствующим частотам составляющих колебаний (фазовые искажения). Как было указано, амплитудные искажения могут оставаться малыми, если при частоты всех составляющих колебаний меньше собственной частоты измерительного прибора. При наличии демпфирования сдвиги фаз для составляющих колебаний, как видно на рис. 146, всегда различны. Для определения искажения используются не сами сдвиги фазы а вызываемые ими сдвиги по времени . Так как сдвиг по времени будет равен

Если для всех составляющих колебаний эти сдвиги по времени одинаковы по величине, то кривые составляющих колебаний сохраняют свое относительное положение (рис. 165), так что при сложении всех составляющих колебаний снова получается в точности входная кривая, правда, со сдвигом по времени на величину Поэтому в силу (5.89) условие для отсутствия фазового искажения можно записать так:

Таким образом, из уравнения (5.38) получается

График этого выражения как функции от приведен на рис. 166. Построенные кривые показывают, что при требующееся значение

постоянной может быть получено в большом диапазоне частот. Хотя это значение несколько отличается от того, которое было признано оптимальным в смысле уменьшения амплитудных искажений, все же при коэффициентах демпфирования в интервале можно получить малые как амплитудные, так и фазовые искажения, в особенности если выбрать

Рис. 165. Сдвиг по времени за счет запаздывания по фазе.

В качестве второго примера прибора для измерения колебаний рассмотрим виброграф, изображенный на рис. 144. Если этот прибор помещен на движущемся автомобиле, то его основание повторяет движение автомобиля.

Рис. 166. К расчету фазовых искажений.

В силу приведенных выше соображений для измеряемого прибором относительного отклонения справедливо решение вида (5.87) с коэффициентом усиления (5.42) и сдвигом фазы (5.38). Как можно видеть на рис. 149 и 146, основополагающие условия теперь не могут выполняться даже приближенно для большей области частот Следовательно, равенства

достичь нельзя. Правда, можно осуществить приближенное равенство выбрав В этом случае фазы всех составляющих колебаний сдвигаются на что равносильно изменению знака.

Неравенство означает , т. е. работу прибора в области сверхкритических частот. Если это условие выполняется, то относительное движение (рис. 144) представляет собой зеркальное отражение движения основания Физически это выглядит так: если осциллятор обладает низкой собственной частотой, то его масса остается приблизительно в покое, в то время как основание движется вместе с автомобилем. Таким образом, должно иметь место равенство и поэтому

Этот принцип измерения может применяться в том случае, если нужно замерить амплитуду колебаний. Он находит, например, применение в сейсмографах, предназначенных для измерения амплитуды колебаний поверхности Земли. Осуществление необходимой при этом малой собственной частоты прибора, а также изготовление достаточно эффективного демпфера являются причиной значительных конструктивных трудностей.

Приборы описанного выше типа (рис. 144) могут применяться и с докритической настройкой, т. е. при Тогда они измеряют не амплитуду колебания, а ускорение основания во время колебаний. Это проще всего видеть из уравнения движения осциллятора, которое, как было показано в разд. 5.2.1.1, можно привести к следующему виду:

Это уравнение соответствует уравнению (5.85), поскольку за входную величину здесь принимается взятое со знаком минус ускорение основания . Таким образом, при докритической настройке виброграф работает как измеритель ускорения. Это легко представить себе наглядно: в случае высокой собственной частоты прибора, изображенного на рис. 144, масса «квазистатически» движется вместе с основанием и возникающие при этом силы инерции измеряются пружиной, которая при малых ее деформациях действует как измеритель силы.

Кроме упомянутых здесь типов настройки, закритической и докритической в некоторых приборах используют также настройку вблизи собственной частоты Это делается в приборах, работающих по принципу резонанса и в общем случае служащих только для определения частоты. В них используется тот факт, что при малом демпфировании резонансный максимум может становиться очень большим. В этом случае измерительный прибор «выбирает» из всего спектра имеющихся частот такие, которые соответствуют его собственной частоте.

Механическими приборами этого типа являются язычковые измерители частоты, электрическими — так называемые волномеры, используемые в радиотехнике.