6.1.2. Главные колебания и главные координаты

Общее решение (6.12) показывает, что колебательный процесс представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Выясним, существуют ли такие начальные условия, при которых колебательный процесс происходит только с какой-нибудь одной частотой. Из соотношений (6.13) легко видеть, что это возможно в двух случаях:

При выполнении этих условий координаты в течение всего колебательного процесса жестко связаны между собой.

Рис. 185. Формы главных колебаний осциллятора, изображенного на рис 183.

Легко представить себе, что это возможно лишь тогда, когда сам колебательный процесс представляет собой чистое вращение вокруг неподвижного полюса Р, который находится на расстоянии от центра тяжести S тела (рис. 185). Считая, что для обоих возможных

случаев находим

Первой форме колебаний соответствует частота второй — частота . Эти однопериодические колебания называют главными или нормальными колебаниями. Общее движение можно рассматривать как суперпозицию двух главных колебаний.

Рассмотрим еще два частных случая, допускающих простое исследование.

а) . При равенстве двух несвязанных собственных частот из уравнения (6.9) легко найти собственные частоты

а затем из формул (6.15) — расстояние от центра тяжести до полюсов:

здесь — радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести. В этом случае полюсы расположены справа и слева от центра тяжести на расстоянии, равном радиусу инерции.

б) . Этот случай осуществляется при . Теперь, как это видно из формулы (6.9), . Но при этом из первого равенства (6.15) следует, что и одно из главных колебаний превращается в чистое вращение вокруг центра тяжести. Для другого главного колебания второе равенство (6.15) при рассматриваемых условиях приводит к неопределенности. Однако если в формуле (6.9) величину к взять сначала очень малой, подставить ее во второе равенство (6.15) и затем осуществить предельный переход , то будем иметь . При этом становится ясным, что главное колебание представляет собою чистые колебания смещения. Разумеется, этот результат можно было бы получить непосредственно из дифференциальных уравнений (6.6), которые при становятся несвязанными.

Результат, полученный в частном случае б), можно обобщить: в самом общем случае можно подобрать специальные координаты, так называемые главные координаты, такие, что в этих координатах происходит только однопериодическое движение. При преобразовании системы дифференциальных уравнений (6.6) к главным координатам она распадается на два несвязанных дифференциальных уравнения. Главные координаты находят, например, рассматривая общее решение (6.12) как систему уравнений относительно составляющих колебаний Решая эту

систему, находим

Таким образом, главные координаты получаются из исходных координат линейным преобразованием. С введением в исходные дифференциальные уравнения (6.6), последние переходят в несвязанную форму:

Эти же выражения можно было бы получить даже еще раньше, рассмотрев выражения для кинетической и потенциальной энергии, которые используются при выводе дифференциальных уравнений методом Лагранжа. При этом методе несвязанные дифференциальные уравнения могут получиться только тогда, выражения как для кинетической, так и потенциальной энергии не содержат квадратичных членов с произведением координат. Поэтому нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно переводит выражения для в суммы квадратов. В алгебре эта операция называется преобразованием к главным осям. Проведем его для данного случая и покажем, что при этом снова получатся уравнения движения в главных координатах .

С учетом обозначений (6.4) и (6.5) выражения (6.2) и (6.3) можно записать следующим образом:

Теперь введем новые координаты и и о, которые зависят линейно от и обладают тем свойством, что записанные в этих координатах выражения для не содержат членов с произведением координат. Для этого положим

После подстановки в выражения (6.18) и некоторых преобразований находим, что суммы квадратов получаются только тогда, когда

Эти два уравнения можно рассматривать как систему для определения входящих в преобразование (6.19) постоянных а и b. Ее решение с учетом соотношений (6.9) и (6.11) дает

Если теперь уравнения (6.19) разрешить относительно и и v и воспользоваться соотношениями (6.16), то будем иметь

Здесь — уже известные главные координаты. Таким образом, если с самого начала энергетические выражения (6.2) и (6.3) упростить путем преобразования к главным осям, то объем дальнейших вычислений, связанных с получением двух независимых друг от друга уравнений главных колебаний, сократится. Любое другое движение можно получить сложением главных колебаний. Применяя главные координаты, можно существенно упростить расчет линейно связанных колебаний.