2.2.3.3. Сила демпфирования, пропорциональная квадрату скорости.

При быстром движении тел в жидкостях или газах, обладающих малой вязкостью, возникают вихри, на формирование которых затрачивается энергия. При этом развиваются силы сопротивления, приближенно пропорциональные квадрату скорости движения. В таком случае говорят о турбулентном сопротивлении. Силы сопротивления, как всегда, направлены противоположно направлению движения. Введем коэффициент пропорциональности Q; тогда

Уравнение движения механического осциллятора теперь принимает вид

    (2.160)

Здесь решения тоже находятся по отдельности в областях . Сначала рассмотрим случай . Введя обозначение и заменив х выражением

получим из (2.160) дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно :

    (2.161)

Это уравнение имеет решение

    (2.162)

где С — постоянная интегрирования.

В случае получается аналогичное уравнение, только с другим знаком коэффициента q. Введем теперь функции

и определим постоянную интегрирования С в при начальных условиях Она будет равна так что уравнение фазовой траектории примет следующий вид:

Отсюда может быть определена последовательность максимальных отклонений. Точки изменения направления движения соответствуют

Рис. 78. Построение точек изменения направления движения осциллятора о силой демпфирования, пропорциональной квадрату скорости.

Если первая точка изменения направления движения задана, то вторую точку можно сразу найти из первого уравнения (2.164) и равенства

    (2.165)

Поведение осциллятора наглядно представлено на рис. 78, где построены графики функций в зависимости от х. Эти кривые похожи на приведенную ранее кривую потенциальной энергии. Действительно, легко установить, что имеют место следующие соотношения

Для нахождения последовательности амплитуд на диаграмме, приведенной на рис. 78, начинают с точки и проводят через нее вертикаль до пересечения с кривой . Вторую амплитуду получают согласно соотношению (2.165), проводя горизонталь до пересечения с правой ветвью кривой . В этой точке происходит переход из области в область . Теперь следует найти и перенести по горизонтали значение полученной ординаты на левую ветвь той же кривой. Точка пересечения имеет абсциссу Продолжая этот процесс, получают всю последовательность амплитуд.

Этот метод можно упростить в том случае, когда является нечетной функцией, т. е. когда выполняется равенство Тогда из (2.163) следует, что , и отдельные ветви кривых симметричны относительно оси ординат.

Рис. 79. То же, что на рис. 78, в случае нечетной восстанавливающей силы

Рис. 80. То же, что на рис. 78, в случае линейной восстанавливающей силы.

Поэтому достаточно построить половину диаграммы (рис. 79). Если теперь снова начать с амплитуды х, то, очевидно, можно найти все последующие амплитуды, спускаясь как по лесенке между обеими кривыми. Правда, при этом знак координаты х теряется, но это не имеет никакого значения, поскольку знаки чередуются.

Период колебания определяется из (1.20) с учетом (2.164). Мы снова имеем

В качестве простого примера рассмотрим случай, когда . Из (2.163) получим вспомогательные функции

    (2.167)

Так как постоянный коэффициент , а также вычитаемое —1 в квадратных скобках не влияют на амплитуды, на рис. 80 построены лишь графики функций . Последовательность точек изменения направления движения находится здесь описанным выше способом.

Из хода кривых видно важное свойство рассматриваемого осциллятора. Кривая пересекает ось х в точке и при больших значениях х остается в верхней полуплоскости. Функция наоборот, отрицательна при всех значениях х. Отсюда следует, что, сколь бы велика ни была начальная амплитуда, вторая амплитуда не может быть больше чем

Из уравнения фазовых траекторий (2.164) с учетом (2.167) получаем

    (2.168)

Из обоих соотношений видно, что при предположении одинаковых начальных условий фазовые траектории нижней полуплоскости получаются из траекторий верхней полуплоскости изменением знаков . Поэтому верхние и нижние части фазовых траекторий при (которые, правда, не относятся к одному процессу) могут быть совмещены поворотом на 180° вокруг начала координат фазовой плоскости.

Период колебания также определяется обычным интегрированием. Однако, поскольку интеграл, получающийся при подстановке (2.167) в (2.166), в явном виде не берется, подробнее эта задача здесь не ссматр ивается.

Результаты, полученные для осциллятора с квадратичным демпфированием, можно без каких-либо изменений использовать и в случав, когда на осциллятор действуют возмущающие силы

Эти силы всегда положительны соответственно отрицательны), и поэтому для одного полуколебания их действие подобно демпфированию, а для следующего — возмущению. Демпфирование в одной области компенсируется возмущением в следующей области, так что колебания оказываются периодическими.

хотя и несимметричными. относительно точки Фазовый портрет подобного осциллятора определяется первым из уравнений (2.168) со знаком уже на всей фазовой плоскости. Легко сообразить, что фазовые траектории всегда замкнуты и их нижние половины получаются из верхних простым отображением относительно оси х.