4.4.4. Приближенные решения для случая ...

Решения, полученные в предыдущем разделе, можно существенно упростить, если ограничиться случаем малых амплитуд Подобные приближения могут быть очень полезны и интересны, хотя они и не позволяют исследовать некоторые особенности движения, например влияние нелинейной характеристики.

При или согласно (4.56) и (4.57), получаем модули

При этом эллиптические функции Якоби переходят в соответствующие тригонометрические функции:

Поэтому в случае а уравнения (4.67) можно записать так:

    (4.70)

Отсюда можно исключить амплитуды . Почленно разделив первое из уравнений (4.70) на второе, преобразуем результат при помощи соотношений (4.62) и (4.56) - (4.58), а также равенства . Тем самым мы получим уравнение для искомого отношения частот

В случае б из уравнений (4.69) совершенно аналогично получается

что после исключения амплитуд дает

Теперь для каждого заданного значения можно из соотношений (4.71) и (4.73) найти два граничных значения отношения частот . Но это позволяет для колебаний исследуемого здесь вида построить диаграмму устойчивости, полностью аналогичную рассмотренной выше диаграмме Айнса — Стретта.

Принятые приближения справедливы для сколь угодно больших изменений параметра . Полагая можно произвести дальнейшие упрощения. Прежде всего, из (4.71) и (4.73) следует, что в пределе прие в обоих случаях . Таким образом, чем больше становится величина , тем больше отличаются друг от друга граничные значения и тем шире становится расположенная между ними область неустойчивости. При разложении выражений (4.71) и (4.73) в ряд по степеням и отбрасывании всех членов ряда, кроме первого, получается соотношение

или

Неустойчивости следует ожидать в области