2.1.3.6. Приближенные методы.

Если восстанавливающая функция произвольна, то приведенные в разд. 2.1.3.1 формулы становятся слишком громоздкими, и тогда для расчета колебаний используются приближенные методы.

Одним из важнейших методов такого рода, несомненно, является метод малых колебаний. В нем предполагается, что амплитуды колебаний, происходящих около положения равновесия, настолько малы, что в малой окрестности положения равновесия дугу графика восстанавливающей функции можно заменить отрезком касательной к этому графику.

Положение равновесия (положение покоя) характеризуется значениями так что Разложим функцию в окрестности в ряд Тейлора:

Если ограничиться малой окрестностью точки то члены с высшими степенями х окажутся малыми по сравнению со вторым слагаемым правой части. Поскольку в качестве приближения

можно принять

Подставив (2.105) в уравнение движения осциллятора

и введя обозначение

получим обычную для линейного осциллятора форму уравнения движения

В качестве примера рассмотрим гравитационный маятник, для которого

Здесь

в соответствии с полученными ранее результатами.

Метод малых колебаний применим тогда, когда восстанавливающую функцию можно разложить в ряд Тейлора. Но он неприменим в случаях, подобных тем, с которыми мы познакомились в прошлом разделе, где или функция менялась скачкообразно, например по формуле (2.96), или нулевая особая точка лежала в мертвой зоне, в которой все производные обращались в нуль. В обоих этих случаях функции в нулевой точке не являются аналитическими и не могут быть разложены в ряд Тейлора.

В подобных случаях хорошие приближенные решения можно получить разработанным Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [12] методом, который известен под названием метода гармонического баланса. В дальнейшем мы будем часто применять этот метод, однако рассмотрим его уже теперь, поскольку он дает хорошие результаты и для обсуждаемых консервативных нелинейных колебаний. Правда, здесь следует ограничиться нечетными, хотя в остальном и произвольными восстанавливающими функциями, так что

    (2.106)

Далее нужно, чтобы колебания вообще были возможны, т. е. чтобы восстанавливающая сила преобладала над теми силами, которые стремятся вывести осциллятор из положения равновесия.

Основное предположение метода гармонического баланса заключается в том, что колебания считаются близкими к гармоническим:

    (2.107)

Если подставить это выражение в нелинейную восстанавливающую функцию то она также станет периодической функцией времени и будет иметь именно такую же круговую частоту , как и х. Эту периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье:

    (2.108)

где — известные коэффициенты ряда Фурье. В силу предположения (2.106) все коэффициенты а также постоянный коэффициент равны нулю. Второе предположение метода гармонического баланса состоит в том, что пренебрегают высшими гармониками ряда (2.108), т. е. членами и учитывают только основную гармонику с круговой частотой . Тогда с учетом выражения (2.107) получают

    (2.109)

Таким образом, методом гармонического баланса нелинейную функцию удалось привести к линейному приближенному выражению с х. Однако коэффициент пропорциональности с здесь не является постоянным, как в методе малых колебаний, а зависит от амплитуды А. Подставляя в (2.109) коэффициент Фурье получаем

    (2.110)

Это — интегральное преобразование, преобразующее функцию от переменной х в функцию с от переменной А. Такой прием, позволяющий при помощи преобразования заменить нелинейность зависимостью от амплитуды А, оказывается необычайно плодотворным.

В силу (2.109) нелинейные колебания могут быть приближенно описаны линейным уравнением, для решения которого используются уже указанные выше методы. Для собственной круговой частоты мы теперь имеем

и соответственно можем получить период колебания Т, тоже зависящий от амплитуды А.

В качестве простого примера применения метода гармонического баланса рассмотрим осциллятор с восстанавливающей функцией

для которвго в предыдущем разделе мы уже нашли (без каких-либо допущений)

период колебания. Из (2.110) следует

    (2.111)

При этом используется тот факт, что вследствие симметрии достаточно проинтегрировать лишь от 0 до а затем умножить полученный результат на четыре. Для периода колебания из (2.111) получается

Сравнение с полученным ранее точным решением (2.100) показывает, что приближенное решение совершенно правильно описывает влияние отдельных параметров и лишь численный коэффициент в нем на 1,66% меньше коэффициента в точном решении. Однако следует заметить, что в общем случае и ошибка приближенного решения может зависеть от амплитуды А.

Для определения фазового портрета также имеются приближенные способы, которыми легко получить общее представление о ходе фазовой траектории при любых функциях Возможность для этого дает известный из теории дифференциальных уравнений первого порядка метод изоклин. Исходное уравнение второго порядка

легко преобразовать в уравнение первого порядка. Поскольку

мы имеем

    (2.113)

Стоящая в левой части производная равна тангенсу угла наклона фазовой траектории. При использовании метода изоклин находят такие кривые, для которых (2.113) имеет заданное постоянное значение. В силу (2.113) уравнение этих кривых имеет вид

Полученные таким образом изоклины можно нанести на фазовую плоскость вместе с линейными элементами фазовых траекторий (отрезками касательных к этим траекториям). Семейство изоклин с соответствующими линейными элементами дает наглядное представление о возможном расположении фазовых траекторий.

В качестве примера рассмотрим линейный осциллятор с . Здесь

Эта величина постоянна, если , где k — произвольная поствянная. Поэтому изоклины представляют собой прямые, проходящие через начало координат. Тангенс угла наклона линейных элементов фазовых траекторий на изоклинах равен

Самые простые соотношения получаются при когда

В этом случае элементы фазовых траекторий будут всегда перпендикулярны изоклинам, и получаются поле изоклин и поле линейных элементов фазовых траекторий, изображенные на рис. 60.

Рис. 60. Поле изоклин на фазовой плоскости для линейного консервативного осциллятора.

Рис. 61. Поле изоклин на фазовой плоскости консервативного осциллятора с разрывной восстанавливающей силой.

На этом рисунке сразу видно, что фазовые траектории представляют собой окружности, проведенные вокруг расположенной в начале координат особой точки, — результат, который, конечно, согласуется с выводами, сделанными в разд. 2.1.2.1.

В качестве второго примера рассмотрим осциллятор с восстанавливающей функцией Здесь из (2.113) для области следует, что

Эта величина постоянна, если постоянна v, и поэтому теперь изоклины представляют собой прямые, параллельные оси х (рис. 61). Линейные элементы фазовых траекторий будут проходить тем круче, чем меньше v. На самой оси х эти элементы становятся вертикальными. В области получается соответствующая картина, следует только изменить знак На оси v направление линейных элементов не определено, так как здесь не определено значение Таким образом, фазовые траектории снова должны иметь вид, представленный на рис. 58 (см. рис. 61).

Наконец, рассмотрим еще один простой графический метод, который может быть использован для построения фазовых траекторий. Этот метод, предложенный Льенаром, излагается в несколько модифицированном виде; он особенно удобен в тех случаях, когда функция задана графиком.

Само построение показано на рис. 62. Сначала в плоскости строится график функции Чтобы найти линейный элемент

фазовой траектории в произвольной точке Р, опустим из точки Р перпендикуляр на ось он пересечет кривую в точке В, а ось х - в точке С. Затем опишем вокруг центра С окружность радиуса СВ и проведем прямую, соединяющую точку Р с (левой) точкой пересечения этой окружности с осью х. Линейный элемент фазовой траектории, проходящей через точку Р, будет перпендикулярен прямой DP. Справедливость такого построения следует из соотношений

(полученный результат совпадает с уравнением (2.113)). Последовательно соединяя найденные таким образом линейные элементы, легко построить всю фазовую траекторию.

Рис. 62. Построение линейных элементов фазовой траектории по Льенару.