4.1.4. Колеблющаяся струна с переменным натяжением

Мельде описал эксперимент, в котором можно получить параметрические колебания натянутой струны. Если струна натянута между неподвижной точкой и камертоном (рис. 124), то удар по камертону приводит к тому, что натяжение струны, зависящее от колебаний камертона, будет меняться периодически.

Рис. 124. Струна с периодически меняющимся натяжением.

Если при этом частота собственных колебаний камертона вдвое больше частоты основных колебаний струны, то амплитуда этих основных колебаний может сильно возрасти.

Поперечные колебания струны в соответствии с разд. 2.1.1.6 (уравнение (2.46)) описываются одномерным волновым уравнением

Это уравнение можно решить методом разделения переменных, полагая

После подстановки в (4.4) получим

В отличие от предыдущего решения (уравнение (2.48)) теперь множитель S, зависящий от времени, необходимо было перенести в левую часть уравнения, чтобы в левой части находились только зависящие от времени, а в правой только зависящие от координаты выражения. Уравнение (4.5) может выполняться только тогда, когда эти выражения не зависят ни от времени, ни от координаты и, следовательно, должны быть равны константе, которую мы положили равной Поведение решения во времени в силу уравнения

(4.5) описывается дифференциальным уравнением

т. е. снова уравнением в периодически меняющимися коэффициентами.

Если струну заменить стержнем, а переменное натяжение — пульсирующей сжимающей силой, то также могут возникнуть параметрически возбуждаемые колебания. Такой вид поперечных колебаний стержня под влиянием периодически меняющейся продольной нагрузки был исследован в основном Меттлером (Mitt. Forsch.-Anst. Gutehoffn. Niirnberg, 1940, Bd. 8, S. 1-15)