5.2.1.2. Амплитудные и фазовые характеристики.

Если на колебательную систему воздействует периодическое внешнее возмущение с частотой Я, то следует предположить, что вынужденное движение будет происходить с той же частотой. Действительно, можно получить частное решение уравнения движения (5.35), положив

Физически это выражение означает, что гармоническое колебание происходит с амплитудой и отстает по фазе от возмущающего

воздействия на угол При этом является мерой величины возмущения, а V показывает, во сколько раз амплитуда колебаний отличается от амплитуды Поэтому V называют коэффициентом усиления или динамичности, а график его зависимости от —амплитудной характеристикой или (иногда) резонансной кривой.

Рис. 146. Фазовая характеристика при различных значениях коэффициента демпфирования.

Амплитудная и фазовая характеристики дают возможность судить о важнейших свойствах системы, совершающей вынужденные колебания.

Рис. 147. Амплитудные характеристики (5.40) при различных значениях коэффициента демпфирования.

Величины V и должны быть выбраны таким образом, чтобы выражение (5.37) удовлетворяло уравнению движения (5.35). Подставляя (5.37) в (5.35) и приводя подобные члены, получаем

Это соотношение справедливо при любых значениях только тогда, когда оба выражения, стоящие в квадратных скобках, одновременно обращаются в нуль, что дает случаев.

Фазовая характеристика, как это видно из уравнения (5.38), не зависит от Е и потому одинакова для всех трех рассмотренных

Рис. 148. Амплитудные характеристики (5.41) при различных значениях коэффициента демпфирования.

Следует, однако, заметить, что в случае Б угол является фазовым углом между отклонением х и скоростью х. С учетом (5.38) и (5.36) коэффициент усиления можно представить следующим образом:

Соответствующие амплитудные характеристики и фазовая характеристика (5.38) при различных значениях D построены на рис. 146—149. Характерные значения фазы и коэффициентов усиления приведены в табл. 4.

В этой таблице , то значение относительной частоты , при котором коэффициент усиления имеет максимальную величину. В каждом из трех случаев имеет следующие значения:

Таблица 4 (см. скан)

Следует заметить, что максимумы амплитудных характеристик ни в одном из трех случаев не совпадают с «резонансом», при котором собственная частота равна частоте возмущения , т. е.

Рис. 149. Амплитудные характеристики (5.42) при различных значениях коэффициента демпфирования.

Геометрическое место максимумов легко вычислить по приведенным выше значениям V и Исключая D, находим

    (6.44)

На рис. 147 и 149 это геометрическое место точек показано штриховой линией. Исследуя выражения для , можно заключить, что в случаях А и В максимум существует только тогда, когда кривые имеют монотонный характер.

Следует заметить, что во всех трех случаях рассчитывался коэффициент усиления по координате х и строились амплитудные характеристики. Кроме амплитуды колебаний существенный интерес представляют скорость колебания х и ускорение х. Обе эти величины легко получить дифференцированием х. При каждом таком дифференцировании к коэффициенту усиления добавляется множитель , так что коэффициенты усиления по зависят от частоты иначе, чем по отклонению х. Например, формулу (5.42) и соответственно рис. 149 можно воспринимать как коэффициент усиления по ускорению в случае А. Таким образом, в то время как отклонение х при -стремится к нулю (рис. 147), ускорение стремится к постоянному значению, отличному от нуля. На эти зависимости следует обращать особое внимание при оценке результатов измерения параметров колебаний.