5.2.1.5. Переходные процессы при вынужденных колебаниях.

Рассматривавшееся в предыдущих разделах решение (5.37) является не общим, а лишь частным решением уравнения движения (5.35).

Рис. 157 Наложение свободных и вынужденных колебаний в случае

Согласно сказанному выше, для того чтобы найти общее решение, нужно прибавить выражения для свободных колебаний, т. е. общее решение однородного уравнения. Следовательно, решение имеет вид

При надлежащем выборе постоянных С и это решение будет удовлетворять любым заданным начальным условиям.

Рис. 158. Наложение свободных и вынужденных колебаний в случае

В зависимости от частоты возмущения, собственной частоты и вида начальных условий возможно чрезвычайно большое количество типов колебаний. Две кривые с начальными условиями построены на рис. 157 и 158.

Особый интерес представляет поведение осциллятора в случае, когда собственная частота и частота возмущения близки друг к

другу. Здесь мы ограничимся лишь рассмотрением недемпфированных колебаний тогда с учетом (5.38) и (5.40) выражение (5.63) примет вид

Если постоянные С и определить из начальных условий , то получится

При этом выражение (5.64) переходит в следующее:

Тригонометрическими преобразованиями это выражение приводится к форме

    (5.65)

Это справедливое в общем случае выражение допускает особенно наглядное толкование при т. е. в случае, когда собственная частота и частота возмущения мало отличаются друг от друга.

Рис. 159. Наложение свободных и вынужденных колебаний в случае при

В этом случае выполняется неравенство и, следовательно, аргумент первой функции синуса будет меняться медленно по сравнению с изменениями аргумента второй функции синуса. Таким образом, движение можно представить себе как колебание с частотой амплитуда которого медленно меняется по гармоническому закону

Кривая в плоскости для этих колебаний изображена на рис. 159. Осциллятор совершает колебания типа биений, причем временной

интервал между двумя минимумами вычисляется по формуле

При помощи формулы (5.65) можно также удовлетворительно пояснить особый случай переходного процесса при резонансе. Рассмотрение частного решения для этого случая дает практически непригодный результат, так как в случае коэффициент усиления при обращается в бесконечность.

Рис. 160. Колебания в случае резонанса при

Однако, принимая во внимание, что 1, уравнение (5.65) можно записать следующим образом:

Переходя к пределу, при будем иметь

Это уравнение описывает колебания с линейно нарастающей со временем амплитудой, как показано на рис. 160. Впрочем, легко убедиться, что рис. 160 получается из рис. 159 при т. е. при сдвиге первого минимума вправо до бесконечности. Действительно, из уравнения (5.66) видно, что при период биений неограниченно возрастает.