5.4. Вынужденные колебания нелинейных осцилляторов

Математическое описание движения нелинейных осцилляторов, подвергающихся внешним возмущениям, — задача достаточно трудная, и в настоящее время она решена только для немногих

частных случаев. Трудность ее обусловлена главным образом тем, что для нелинейных систем неприменим принцип суперпозиции, и поэтому получение полного решения сложением отдельных решений, столь удобное для линейных осцилляторов, теперь уже недопустимо. Это означает также, что результирующее движение (общее решение) не получается простым суммированием собственных колебаний (общего решения однородного уравнения) и вынужденных колебаний (частного решения неоднородного уравнения).

Использование переходных функций в нелинейных системах также теряет смысл, так как их больше нельзя рассматривать как элементы, из которых строятся более общие решения. Кроме того, теперь переходная функция не может быть определена в таком общем виде, как это имело место в линейных системах.

В линейных системах величина входного возмущения не оказывала никакого влияния на вид переходной функции. Нелинейные системы не обладают этим свойством, и поэтому каждому значению амплитуды входного возмущения соответствует своя переходная функция.

Как и в линейных системах, в данном случае особый интерес представляют периодические решения. Это основывается не только на сравнительной простоте математического анализа таких решений, но и прежде всего на несомненно большом значении, которое имеют подобные формы движения в технике.

К приближенному описанию движения нелинейных систем можно приступить, располагая уже применявшимися ранее способами, которые мы напомним лишь вкратце, хотя и приведем пример использования приближенных методов в задаче, имеющей точное решение. В дальнейших примерах мы дадим более общий обзор возможных в нелинейных системах явлений, так как оказывается, что наряду с уже известными по линейным системам явлениями в нелинейных системах могут проявляться многочисленные новые нелинейные эффекты, важные с технической точки зрения. Среди многого другого сюда относятся: возникновение неустойчивости форм движения, скачки амплитуды и фазы, высокочастотные колебания, субгармоническое возмущение, комбинационные частоты, выпрямленные воздействия, явления затягивания. Здесь приводится лишь поверхностное описание этих явлений, подробные же сведения о них можно найти в специальной литературе (см., например, [10, 16, 19]).

5.4.1. Постановка задачи и возможности ее решения

Ранее не раз рассматривалось уравнение движения нелинейного осциллятора с одной степенью свободы — см., например, уравнение (3.2). Здесь нам нужно лишь дополнить это уравнение зависящим от времени возмущающим членом в правой части:

    (5.110)

Исследование решения этого уравнения на фазовой плоскости, целесообразное, например, в случае автоколебаний (разд. 3.2.1), теперь хотя и возможно, но менее эффективно и более трудоемко, так как время входит в явном виде в возмущающий член.

Энергетический подход к решению здесь также несколько утрачивает свое значение. Однако он может оказаться полезным при отыскании приближенных решений, и поэтому его следует напомнить: представив функцию в виде (3.5), как в разд. 3.2.1, имеем

Тогда, умножив уравнение (5.110) на х и почленно проинтегрировав по времени, можно получить энергетическое соотношение

или

Кроме кинетической и потенциальной энергии, а также энергетической постоянной в это соотношение входят поглощаемая демпфированием энергия и подводимая возмущением энергия Ее. Так как последние зависят и от времени, описание колебательного процесса нельзя получить только из (5.111), как это было сделано в разд. 2.1.3.1 при описании нелинейных собственных колебаний консервативных систем. Однако можно высказать некоторые соображения и о чисто периодических решениях. А именно, если проинтегрировать уравнение энергии за один полный период, то первые два слагаемых в (5.111) и постоянная исчезнут, так что останется соотношение

    (5.112)

т. е. математическое выражение равенства между подводимой и поглощаемой энергией. Если известна форма колебаний, то это выражение можно применить для определения амплитуды. Но форма колебаний, т. е. закон изменения амплитуды по времени должна быть найдена из решения уравнения движения. Тем не менее уравнение энергетического баланса (5.112) позволяет сделать ценные выводы, поскольку для здесь можно принять приемлемое выражение, например гармоническое колебание. Наконец, указанный здесь приближенный метод приводит к удовлетворению уравнения движения «в среднем», о чем уже говорилось в разд. 3.2.3.

Если нелинейная функция квазилинейна, т. е. зависимость от обеих переменных носит почти линейный характер, то часто оказывается предпочтительным метод разложения в ряд Тейлора. В этом случае уравнение (5.110) при переходит в следующее:

где — остаточный член разложения. Для квазилинейных функций этот остаточный член является малым, так что его можно рассматривать как дополнительное возмущение. Тогда уравнение (5.113) допускает решение методом итераций, причем в первом приближении дополнительным возмущением можно пренебречь. Можно также представить возмущение в виде суммы

    (5.114)

причем является «малым параметром», который имеет такой же порядок малости, как и остаточный член R в (5.113). После подстановки (5.114) в (5.113) уравнение движения распадается на систему уравнений, служащих для последовательного определения При удачно выбранном ряде (5.114) достаточно точное решение можно получить вычислением небольшого числа членов ряда, однако доказательство сходимости ряда в общем случае оказывается весьма трудным.

Для исследования вынужденных колебаний нелинейных систем весьма часто применяются также методы, в принципе эквивалентные уже многократно использовавшемуся методу гармонического баланса. При этом нелинейная функция заменяется линейным по а: и а: выражением

    (5.115)

в котором коэффициенты а и b находятся при помощи интегрального преобразования (см. формулы (3.15) в разд. 3.2.2). При этом исходное уравнение (5.110) переходит в линейное уравнение

    (5.116)

решение которого исследовалось в предыдущем разделе. Его отличие от уравнения для линейного осциллятора состоит в том, что коэффициенты а и b являются функциями амплитуды колебаний. Если их считать постоянными или приблизительно постоянными, то метод в общем случае дает чрезвычайно хорошие результаты.