6.1.1. Связанные колебания недемпфированного осциллятора

Рассмотрим изображенный на рис. 183 осциллятор: твердое тело, подвешенное на двух пружинах жесткости может совершать плоское движение, которое однозначно описывается координатами (вертикальное движение центра тяжести S) и (вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения). Предположим, что тело имеет главную ось инерции, перпендикулярную плоскости движения (в противном случае движение было бы пространственным) и что угол мал (это позволяет провести соответствующую линеаризацию). Кроме того, предположим, что демпфирование отсутствует.

Для вывода уравнений движения используем уравнения Лагранжа второго рода

где кинетическая энергия и потенциальная энергия выражаются соотношениями

Подстановка выражений (6.2) и (6.3) в уравнение (6.1) дает

Полагая для сокращения записи

    (6.5)

получаем уравнения движения в следующем виде:

где являются соответственно собственными частотами колебаний смещения (т. е. таких колебаний, при которых стержень перемещается поступательно. - Ред.) и крутильных колебаний при отсутствии связи между координатами При подстановке

уравнения (6.6) дают для определения амплитуд X и Ф систему линейных однородных уравнений

которая имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее детерминант равен нулю. Это приводит к характеристическому уравнению

с двумя решениями для :

где — собственные частоты рассматриваемой колебательной системы, которые, как сразу видно из подкоренного выражения,

всегда отличаются друг от друга. Их зависимость от отношения «несвязанных собственных частот», а также от коэффициента связи k показана на рис. 184. Из этих зависимостей, представленных в безразмерном виде, можно видеть, что при исчезающе малом коэффициенте связи получаются прямые

Рис. 184. Зависимость между частотами связанных колебаний, основными частотами и коэффициентом связи.

Чем больше коэффициент связи, тем больше собственные частоты отличаются друг от друга. При этом всегда больше большего, a меньше меньшего из значений частот

Теперь решения для обеих координат можно выразить через тригонометрические функции

В эти выражения входят восемь постоянных, для определения которых имеются лишь четыре начальных условия. Тем не менее задача может быть решена, так как амплитуды и фазы обеих координат связаны друг с другом. Из уравнений (6.7) легко установить, что существуют следующие соотношения:

Таким образом, выражения (6.10) принимают вид

Если при заданы начальные условия

то амплитудные коэффициенты и фазовые смещения, входящие в выражения (6.12), имеют следующие значения: