5.2.2. Периодическое возмущение общего вида; решение методом разложения в ряд Фурье

Если действующее на осциллятор возмущение является периодическим, то оно может быть представлено рядом Фурье. Тогда для входной функдии можно занисать

Для осцилляторов, уравнения движения которых линейны, в силу принципа суперпозиции решение можно найти как сумму отдельных реакций осциллятора на различные составляющие возмущения. Это легко понять из следующих рассуждений: если в общем случае является линейным дифференциальным выражением от х, то для линейного осциллятора уравнение можно записать так:

Если теперь то можно положить Тогда вследствие линейности справедливо равенство

Следовательно, исходное уравнение (5.69) можно привести к виду

Если выбрать таким образом, чтобы каждый член суммы, т. е. каждое стоящее в квадратных скобках выражение, обращался в нуль, то это уравнение будет удовлетворяться, а общее решение получится как сумма частных решений.

Рис. 161. Функция типа меандра.

В качестве примера снова рассмотрим уравнение движения

причем является функцией типа меандра, изображенной на рис. 161. Для этой функции разложение в ряд Фурье выглядит так:

Применяя ранее полученные результаты для коэффициента усиления и фазы — формулы (5.40) и (5.38) соответственно — легко найти

каждое частное решение, так что общее решение принимает следующий вид:

где

Вычисление этого ряда на практике, естественно, весьма трудоемко, хотя из-за сильного затухания он сходится значительно быстрее, чем ряд для возмущающей функции (5.71). В разд. 5.2.4 мы увидим, что для данного примера проще и легче найти точное решение вершенно иным путем.