5.2.3. Статистически распределенные возмущения

Рассмотренный в предыдущем разделе способ можно использовать и для непериодических возмущающих функций. Так, например, с непериодической функцией мы имеем дело уже тогда, когда а возмущение входят две гармонические составляющие, отношение частот которых не является рациональным числом (несоизмеримые частоты). Для практики еще важнее такие возмущения, у которых частоты распределены более или менее непрерывно, т. е. существует целый частотный спектр возмущений. В этом случае возмущение можно представить как предельное значение суммы отдельных возмущений, т. е. как интеграл

Функция называется частотным спектром возмущения. Фазовый угол характеризует сдвиг по времени отдельных составляющих колебаний друг относительно друга.

Каждая составляющая возмущения в (5.73) вызывает соответствующую составляющую движения осциллятора, которую можно найти уже рассмотренным способом, т. е. умножением входной амплитуды на коэффициент усиления и добавочным сдвигом фазы на величину . В качестве общего решения, согласно сказанному, имеем

Отсюда видно, что частотный спектр выходной функции получается умножением частотного спектра входной функции на коэффициент усиления:

Если возмущения являются статистически распределенными, т. е. представляются так называемыми случайными функциями, то их часто характеризуют не частотным спектром, а спектральной плотностью , которую можно получить из частотного спектра переходом к пределу. Не останавливаясь подробно на определении спектральной плотности, в дальнейшем для простоты будем полагать

Применение спектральной плотности вместо частотного спектра имеет то преимущество, что, с одной стороны, ее можно найти непосредственно из кривой , а с другой стороны, по ней можно рассчитать среднеквадратичное отклонение используемое в теории вероятностей для характеристики ожидаемого отклонения. Последнее определяется по формуле

Более подробные сведения о частотных спектрах читатель может найти в литературе по теории вероятностей

Если случайные функции стационарны, т. е. если их спектральная плотность и соответственно частотный спектр не зависят от времени, то по известной спектральной плотности входного возмущения можно рассчитать спектральную плотность выходной функции осциллятора. Возведя в квадрат равенство (5.75) и подставив результат в соотношение (5.76), справедливое как для входной, так и для выходной функций, непосредственно получим важную зависимость между спектральными плотностями входной и выходной функций:

Для наглядности мы применим формулу (5.78) к задаче подрессоривания автомобиля, для которой может быть использовано уравнение движения вида (5.70). Входное возмущение обусловливается в этом случае случайными неровностями дороги. Для известного типа дороги можно опытным путем найти спектральные плотности , соответствующие каждой скорости движения. После этого

ставится задача определения оптимального значения коэффициента демпфирования D, с тем чтобы среднеквадратичное отклонение , т. е. средняя амплитуда колебаний автомобиля, было как можно меньше.

Сначала из выражения (5.78) с учетом значения вычислим спектральную плотность и, подставив ее в формулу (5.77), сразу получим искомое среднеквадратичное отклонение

Так как интегрирование проводится по частоте, то в результате получается функция от коэффициента демпфирования D. При известной интегрирование может быть выполнено, так что из функции можно найти оптимальное значение