6.2.3. Колебательные цепи

С технической точки зрения важен частный случай, когда осцилляторы включены последовательно таким образом, что осциллятор связан только с предыдущим и последующим

осцилляторами. Систему такого рода называют колебательной цепью. В качестве примера можно привести вал с насаженными на него дисками. При этом диски ведут себя как колеблющиеся массы, а упругая связь осуществляется расположенными между отдельными дисками частями вала.

Подробно рассмотрим лишь частный случай однородной колебательной цепи, состоящей из одинаковых осцилляторов. На рис. 192 изображены некоторые типичные примеры.

Рис. 192. Колебательные цепи.

Колебательную цепь, показанную на рис. 192, а, можно рассматривать как модель вала с равномерно распределенными на нем дисками. Связь между массами в этом случае является чисто силовой, так как взаимное влияние происходит исключительно через пружины. Электрическим аналогом этой цепи является изображенная на рис. 192, б цепочка из -контуров. Соответствующие уравнения колебаний в обоих случаях однотипны. Несколько иной вид имеют уравнения колебаний в цепях, показанных на рис. 192, в и 192, г. В механическом осцилляторе связь осуществляется за счет инерции масс, в электрическом — за счет индуктивности катушек.

Колебательные цепи — в зависимости от их реакции на периодические возмущения на входе — называют фильтрами низких или высоких частот. На рис. 192, а и 192, б показаны фильтры низких частот, через которые могут проходить только возмущения с частотами, лежащими ниже определенной граничной частотьь Наоборот, на рис. 192, в и 192, г представлены фильтры высоких частот, пропускающие лишь колебания, частота которых лежит выше некоторой граничной частоты.

Для расчета собственных колебаний рассмотрим схему, изображенную на рис. 192, а. При одинаковых массах и жестокостях

пружин получим уравнение движения массы:

или

Заведомо существующее главное колебание массы будем искать в следующем виде:

Подставив это решение в уравнение (6.70), будем иметь

Это уравнение выполняется для любого момента времени t только тогда, когда выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю. Положив

получим уравнение

При для амплитуд X получается система линейных уравнений, которую можно решить методом итераций. Так как амплитуды опять-таки можно найти с точностью до некоторого неопределенного множителя, целесообразно ввести уже многократно использовавшиеся отношения амплитуд

и привести уравнения (6.72) к следующему виду:

Отсюда можно последовательно вычислить все поскольку граничные условия, т. е. условия на обоих концах цепи, известны. Мы ограничимся здесь случаем, когда оба конца цепи закреплены, так что

тогда уравнения (6.73) приводят к следующим результатам:

Эти отношения амплитуд являются функциями отношения частот и поэтому называются частотными функциями. Они часто использовались для расчета собственных частот колебательных цепей;

см., в частности, книгу Бицено и Граммеля [2]. Собственные частоты можно определить как нули частотной функции, т. е. для безразмерных собственных частот справедливо соотношение Таким образом, собственные частоты отличаются тем особым свойством, что для них автоматически выполняется граничное условие заданное на конце цепи. Таблицы нулей частотных функций до приведены в работе [2, т. II, гл. XIII].

Собственную частоту, однако, можно выразить и в явном виде. С этой целью попытаемся найти решение итерационной системы (6.72), положив

При этом первое из граничных условий (6.74) удовлетворяется. Для того чтобы вместе с тем удовлетворялось и второе, должно выполняться равенство

или

С другой стороны, при подстановке выражения (6.75) в уравнения (6.72) будем иметь

Так как значения нас не интересуют, это условие может выполняться лишь тогда, когда

Принимая во внимание соотношения (6.71) и (6.76), собственные частоты можно определить непосредственно:

Это решение легко найти и графически, как показано на рис. 193 для случая . На оси откладывается отрезок, равный и из начальной точки этого отрезка описывают четверть окружности радиусом Затем полученную таким образом четверть круга делят на равных секторов. Если теперь из точек пересечения окружности с ограничивающими эти секторы радиусами опустить перпендикуляры на ось , то расстояния от начала отсчета до оснований перпендикуляров будут представлять собой величины собственных частот. С учетом соотношений (6.75) и (6.76) для распределения амплитуд получается следующая формула:

В случае распределения амплитуд для каждой из четырех собственных частот показаны на рис. 194.

Общее решение снова получается сложением отдельных главных колебаний

Входящие сюда постоянные как известно, находятся из начальных условий, заданных для каждой из масс.

Рис. 193. Определение собственных частот однородной колебательной цепи с

Рис. 194. Распределение амплитуд для собственных частот однородной колебательной цепи с

При из уравнения (6.80) непосредственно получаются две системы из уравнений каждая:

которые позволяют определить величины . В случае рассматриваемой здесь колебательной цепи полученное выше условие ортогональности, соотношение (6.63), принимает вид

При других граничных условиях решения можно найти аналогично тому, как это было сделано для колебательной цепи с закрепленными концами, однако на этом мы здесь не будем останавливаться.