3.2.2. Линеаризация исходных уравнений

Метод малых колебаний, уже использовавшийся в разд. 2.1.3.6, можно применить и в данном случае. С этой целью разложим функцию в ряд Тейлора по обеим переменным х и и в окрестности положения равновесия

Так как должно быть положением равновесия, мы имеем Подставляя это разложение в (3.2) и пренебрегая членами высшего порядка малости, получаем линеаризованное уравнение

Это — уравнение с постоянными коэффициентами, а уравнение такого вида уже решалось в разд. 2.2.2.

Метод малых колебаний применим только тогда, когда существуют обе производные, входящие в уравнение (3.10), т. е. когда функция непрерывна и может быть разложена в ряд Тейлора. В случаях когда функция не является непрерывной, этот метод неприменим. Поскольку в ряде Тейлора пренебрегают членами высшего порядка, удовлетворительные результаты в общем случае можно получить только в непосредственной окрестности положения равновесия. Таким образом, данный метод может описать поведение системы только «в малом».

Для безразмерного коэффициента демпфирования D, определенного формулой (2.124), из уравнения (3.10) получаем

Если то система «в малом» не демпфирована и является консервативной. При система демпфирована, и на фазовой плоскости ее положение равновесия представляется устойчивой особой точкой типа фокуса или узла. Из решения (2.127) можно видеть, что при следует ожидать нарастающих колебаний; положение равновесия при этом соответствует неустойчивой особой точке таких же типов. Этот случай, невозможный при собственных колебаниях, часто встречается при автоколебаниях. Однако метод малых колебаний дает здесь только условия, при которых могут возникнуть нарастающие колебания и система не будет оставаться вблизи положения равновесия. Исследование дальнейшего поведения возбужденных колебаний, например расчет предельного цикла, превышает возможности этого метода.

Линеаризация совершенно другого рода осуществляется в бегло упомянутом выше (разд. 2.1.3.6) методе гармонического баланса. Этот метод открывает гораздо большие возможности, чем метод малых колебаний, так как при его использовании не ограничиваются исследованием малых отклонений. Точность полученных результатов в этом случае определяется формой происходящих колебаний. Для гармонических колебаний получаются точные результаты, а для колебаний, близких к гармоническим, достаточно хорошие приближения. Даже для совершенно отличных от синусоидальной формы треугольных и прямоугольных колебаний все же можно получить приемлемые результаты 1).

Основная идея метода гармонического баланса состоит в том, что колебание предполагается синусоидальным;

Эти выражения подставляются в функцию и получающуюся таким образом периодическую функцию с периодом раскладывают в ряд Фурье:

Ограничимся такими функциями, для которых коэффициент

равен нулю. Это тот случай, когда функция обладает известными свойствами симметрии, и благодаря этому удается избежать достаточно сложных вычислений, необходимых в случае несимметричных функций. В разложении (3.12) будем пренебрегать членами с , т. е. высшими гармониками. Таким образом, в качестве приближения для периодической функции используется только основное колебание, определяемое первой гармоникой:

где

Если подставить линейное выражение (3.14) в исходное уравнение , то это уравнение приведется к линейной форме

В отличие от линеаризованного уравнения (3.10) коэффициенты здесь не постоянны, а зависят от амплитуды А колебаний. Именно эта зависимость от амплитуды колебаний позволяет сделать некоторые выводы о поведении колебательной системы. Безразмерный коэффициент демпфирования D теперь также является функцией амплитуды, потому что из (3.16) его можно получить в следующем виде:

В качестве примера применения метода рассмотрим уравнение (3.3). Принимая во внимание (3.11), будем иметь

Подстановка в (3.15) с учетом соотношений

дает в результате новые коэффициенты

Тем самым из (3.16) получается уравнение, для которого можно использовать решение, полученное в разд. 2.2.2. Частота и безразмерный коэффициент демпфирования соответственно будут равны

Условия убывания и нарастания колебаний и их устойчивость позволяет установить изображенная на рис. 88 зависимость

Кривая D пересекает ось А при значении

Рис. 88. Энергетическая диаграмма для уравнения Ван дер Поля.

При будет и, следовательно, происходят колебания с нарастающей амплитудой; при наоборот, и происходят колебания с убывающей амплитудой. Таким образом, амплитуды колебаний меняются в направлениях, указанных на рис. 88 стрелками, и стремятся к значению амплитуды , с которой и происходят периодические незатухающие колебания. Эти колебания устойчивы, так как при любом возмущении, которое увеличивает или уменьшает амплитуду, осциллятор (в силу описанного выше характера изменения амплитуды) возвращается к колебательному процессу все с той же амплитудой

На этом простом примере можно убедиться в значительных преимуществах метода гармонического баланса по сравнению с методом малых колебаний.