5. Вынужденные колебания

Отличительной особенностью вынужденных колебаний является наличие внешних возмущающих сил, которыми определяется закон движения осциллятора. Возмущающие силы действуют и тогда, когда сам осциллятор находится в покое. Этим вынужденные колебания осциллятора отличаются от ранее рассмотренных автоколебаний и колебаний с параметрическим возбуждением. Так, возмущающие силы, возникающие при работе двигателя внутреннего сгорания, действуют даже тогда, когда фундамент, на котором установлен двигатель, жестко закреплен и не может совершать колебания.

При вынужденных колебаниях в уравнения движения системы всегда входит зависящий от времени член который не зависит от координаты, характеризующей положение системы. Поэтому уравнения движения имеют общий вид , где является дифференциальным выражением для х. При исследовании вынужденных колебаний ограничиваются рассмотрением простых случаев, когда либо левая, либо правая часть уравнения — или же обе они — имеет специальную форму. Так, прежде всего рассматривают уравнения, в которых левая часть приводится к линейному дифференциальному выражению

Для осциллятора, имеющего лишь одну степень свободы, . В этом случае, согласно выражению (5.1), уравнение движения осциллятора становится линейным неоднородным уравнением, для решения которого теория дифференциальных уравнений предлагает ряд методов. Можно показать, что общее решение полного (неоднородного) уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Так как решение однородного уравнения соответствует собственным колебаниям исследуемой системы, при действии внешних возмущений движение этой системы представляется наложением свободных и вынужденных колебаний.

На практике прежде всего интересуются периодическими возмущающими функциями , которые во многих случаях можно даже представить гармоническим законом. Кроме того, при исследовании

вынужденных колебаний оказалось, что ступенчатые и импульсные функции также представляют интерес, так как их можно использовать не только в качестве испытательных функций при определении свойств осциллятора, но и для получения решения в самом общем случае произвольных возмущающих функций.

В соответствии с указанным упрощением в этой главе прежде всего рассматриваются линейные осцилляторы, а затем изучаются характерные влияния нелинейностей на свойства колебаний. Наряду с этим проводится исследование различных форм зависимости возмущения от времени, что дает возможность осветить происходящие при вынужденных колебаниях явления, представляющие практический интерес.