2.1.3.2. Плоский гравитационный маятник.

Соотношения, приведенные в предыдущем разделе, можно непосредственно применить к плоскому гравитационному маятнику, причем безразлично, идет ли речь о математическом (рис. 33) или о физическом маятнике (рис. 34). Для обоих случаев было выведено уравнение движения (2.30)

Положив мы чисто формально сведем это уравнение к рассмотренному в предыдущем разделе уравнению (2.70). Тогда

Это выражение не имеет размерности энергии и поэтому заключено в скобки, но справедливость рассуждений от этого не пострадает. В точке мы имеем

Подставляя эти результаты в (2.72), получаем уравнение фазового портрета

Фазовый портрет и соответствующие кривые потенциальной энергии представлены на рис. 47. Этот рисунок показывает все качественные свойства гравитационного маятника. Фазовый портрет периодичен по углу с периодом .

Рис. 47. Энергетическая диаграмма и фазовый портрет плоского гравитационного маятника.

Собственные колебания маятника происходят около устойчивого положения равновесия (особая точка типа центра), и их фазовые траектории представляются эллипсовидными кривыми. Область этих колебаний ограничивается двумя сепаратрисами, которые проходят через особые точки типа седла при . Сепаратрисы являются косинусоидами, как показывает уравнение (2.77). Если подставить в это уравнение то, поскольку

оно превратится в следующее:

Физически этим сепаратрисам соответствует движение, которое возникает в том случае, когда гравитационный маятник отпускают без начальной скорости из верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Тогда маятнику теоретически потребуется бесконечно большое время для того, чтобы начать двигаться из этого положения равновесия. Наконец он проскочит через нижнее (устойчивое) положение равновесия и будет снова асимптотически приближаться к верхней мертвой точке, подобно тому как было показано выше (формула (1.21)).

фазовые траектории вне области, ограниченной сепаратрисами, соответствуют движениям опрокидывающегося маятника, которому в верхнем положении сообщена начальная скорость, причем верхние кривые соответствуют вращению против часовой стрелки, а нижние — вращению по часовой стрелке.

Вследствие периодичности фазового портрета все происходящие движения воспроизводятся в одной полосе, параллельной оси v, ограниченной значениями и имеющей ширину . Представим себе, что такую полосу вырезали и свернули в цилиндр, состыковав разрезанные фазовые траектории. При этом весь фазовый портрет будет представляться на цилиндре без повторения отдельных участков. Фазовые траектории опрокидывающегося маятника обегают цилиндр, в то время как фазовые траектории, соответствующие колебаниям обычного маятника, окружают особую точку типа центра на поверхности цилиндра.

Чтобы рассмотреть поведение маятника во времени, вернемся к уравнению (2.73), которое теперь примет вид

Данный интеграл можно преобразовать в нормальный эллиптический интеграл Лежандра. Для этого прежде всего используем известное соотношение

и введем новую переменную а и постоянную k:

Кроме того, выберем начало отсчета времени так что Тогда интеграл (2.79) можно записать в виде

Функция представляет собой неполный нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. Существуют таблицы значений этой функции в зависимости от переменной а и так называемого модуля

После того как получено соотношение (2.80), задача о поведении маятника во времени в принципе решена, так как найдена зависимость времени t от вспомогательной величины а. Однако для приложений больший интерес представляет обратная функция или, еще лучше, функция Чтобы получить эти функции,

можно воспользоваться функциями, обратными эллиптическому интегралу F(k, а). Мы имеем

и соответственно

где (sinus amplitudinis) — одна из эллиптических функций Якоби. Ее можно рассматривать как обобщение функции синуса, поскольку

На рис. 48 построены графики для различных значений модуля к.

Рис. 48. Эллиптическая функция для различных значений модуля к.

При этом нужно учесть, что различные кривые построены в различных временных масштабах, так как на этом рисунке за единицу измерения времени принят период колебания.

Период колебания Г находится из соотношения (2.80); для этого нужно верхний предел интегрирования положить равным и умножить интеграл на четыре:

Функция представляет собой полный эллиптический интеграл первого рода, который зависит только от одной переменной — модуля k. График этой функции, построенный на рис. 49, показывает, что период колебания гравитационного маятника существенно меняется только тогда, когда величина k стремится к единице, т. е. когда амплитуда колебания маятника приближается к . Для малых значений k и соответственно малых величин период колебания равен

что совпадает с предыдущими результатами.

При применении теории колебаний гравитационного маятника в часовой технике интересуются прежде всего зависимостью периода колебания от амплитуды. Хотя эту зависимость для всех амплитуд и с любой желаемой точностью можно найти из точной формулы (2.82), для оценки влияния амплитуды гораздо удобнее пользоваться приближенной формулой, поскольку из нее легче усмотреть влияние отдельных величин. Такая приближенная формула получается разложением в степенной ряд полного эллиптического интеграла:

Рис. 49. Зависимость полного эллиптического интеграла от модуля к.

Для малых значений можно положить что дает

Оставляя лишь два первых члена, из (2.82) получаем период колебания

Теперь легко оценить ошибку, которая имеет место при использовании обычной приближенной формулы (2.83). Если, например, амплитуду считать равной , то добавочный член в скобках (2.84) имеет величину 0,0019. Таким образом, для этого случая период колебания по формуле (2.83) будет примерно на 0,2% меньше.