4.4.3. Амплитудная частотная характеристика для периодических решений при ...

Рассмотрим амплитудно-фазовые характеристики для обоих приведенных выше случаев и помимо сокращений (4.56) и (4.57) введем следующие обозначения:

Случай а (рис. 133). Фазовая траектория начинается в точке А при участком, соответствующим области 2. Если отсчитывать время от точки , то в общем решении (4.54) нужно положить что даст

Для участка CD, соответствующего области 1, начало отсчета времени лучше всего выбрать так, чтобы моменту соответствовала точка D, Тогда мы имеем

и уравнение для этого участка фазовой траектории запишется в виде

здесь полный эллиптический интеграл первого рода с модулем

Положим в формуле и найдем значение в точке скачка В; аналогично, положив в формуле получим значение координаты в точке скачка С. Из условий перехода (4.69) с учетом выражения (4.55) для угловой скорости получаем два уравнения:

При помощи преобразований, используемых в теории эллиптических функций, можно упростить левые части этих уравнений, записав входящие в них функции в несколько упрощенном виде:

где dn (delta amplitudinis) — третья эллиптическая функция Якоби. Тогда уравнения (4.65) дают

Эти два уравнения вместе с соотношением

которое следует из равенств (4.62) и (4.58), связывают между собой четыре величины: Задав одну из этих величин, например можно вычислить три остальные. Амплитуды определяются величиной k, а период изменения параметра — величиной а, и поэтому, решив систему уравнений, можно для каждой заданной амплитуды найти такое значение периода при котором может существовать периодическое решение исследуемого здесь вида.

Мы не будем останавливаться на далеко не простой задаче решения системы трех уравнений (4.67) и (4.68). Это решение можно получить при помощи какого-либо из известных методов прикладного анализа, причем наиболее распространенным из таких методов является метод итераций. В разд. 4.4.4 будут вкратце рассматриваться те приближенные решения, которые легче всего получить.

Случай б (рис. 133). Рассуждая так же, как в случае а, получаем уравнения для искомых величин снова из уравнений участков АВ и CD фазовой траектории с учетом условий перехода (4.59). Вместо

уравнений (4.67) теперь имеем:

Так как уравнение (4.68) по-прежнему выполняется, мы снова располагаем тремя уравнениями, из которых можно найти три неизвестные величины.

На рис. 134 представлен результат решения системы уравнений при заданном относительном изменении длины маятника Эта амплитудно-частотная характеристика позволяет сделать важные выводы о поведении осциллятора. Штриховая кривая относится к случаю а, сплошная кривая — к случаю б. Две кривые определяют геометрическое место всех пар значений амплитуды и относительной частоты для которых возможны периодические решения рассматриваемого здесь вида.

Рис. 134. Часть диаграммы устойчивости для математического маятника при параметрическом возбуждении.

На основании ранее высказанных соображений ясно, что эти кривые образуют также границы между областями устойчивости и неустойчивости. Легко показать, что в данном случае заштрихованная область, заключенная между этими двумя кривыми, является областью неустойчивости. Именно в этой области лежит точка характеризующая начало движения осциллятора типа качелей, который исследовался ранее и для которого было установлено, что в ней осциллятор неустойчив.

Амплитуды колебаний, соответствующие точкам внутри области неустойчивости, возрастают; следовательно, изображающие точки движутся в направлениях, показанных стрелками. Внутри области устойчивости картина будет обратной — амплитуды уменьшаются. Исследуя поведение амплитуд, можно непосредственно сделать выводы об устойчивости периодических решений. Например, возможные периодические решения на штриховой кривой следует считать неустойчивыми, так как сколь угодно малое возмущение амплитуды приведет к тому, что изображающая точка будет удаляться от этой граничной кривой и колебания либо прекратятся, т. е. система придет в состояние покоя, либо будут нарастать до тех пор, пока изображающая точка не достигнет ветви б. Периодические

движения на ветви б являются устойчивыми, так как после небольших возмущений изображающая точка возвращается на ту же ветвь.

Из этих соображений следует, что положение равновесия являющееся также решением исходного уравнения, может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от частоты. Если предельные значения частот, соответствующие пересечению ветвей а и б с осью абсцисс, обозначить через то положение равновесия может быть устойчивым при и неустойчивым при При этом следует иметь в виду, что на оси абсцисс могут быть еще и другие области неустойчивости, однако они относятся к периодическим движениям иного типа и должны рассчитываться другими методами.

Здесь следует указать на одно отличие от линейных систем: устойчивость или неустойчивость осциллятора по-прежнему зависит от амплитуды. Поэтому утверждение об устойчивости положения равновесия при справедливо лишь для достаточно малых амплитуд, т. е. для устойчивости в малом. Если рассматривать случай, соответствующий рис. 134, то осциллятор при будет устойчив лишь при в интервале амплитуд осциллятор неустойчив; при больших амплитудах колебания снова будут затухающими. Таким образом, заданному значению частоты соответствуют два возможных устойчивых стационарных вида движения: система может или оставаться в положении равновесия или совершать периодические колебания с амплитудой Какой из этих двух видов движения будет осуществлять: зависит от начальных условий. Неустойчивая ветвь а разграничивает начальные условия, которые приводят к тому или иному из двух видов движения.

Аналогичные соображения справедливы и для области неустойчивости. Параметрически возбуждаемый маятник с частотой параметрических возбуждений ведет себя не так, как маятник типа качелей с той же относительной частотой. При никакой разницы нет, оба маятника могут быть выведены из положения равновесия самыми малыми возмущениями. Однако, в то время как амплитуды маятника типа качелей будут возрастать в геометрической прогрессии до тех пор, пока маятник не начнет описывать полную окружность, амплитуды параметрически возбуждаемого маятника ограниченны (на рис. 134 ).

Такое ограничение амплитуд типично для нелинейных систем; его можно охарактеризовать как своего рода эффект расстройки. Нарастание колебаний происходит при условии, что отношение частоты параметрического возбуждения к собственной частоте находится в области неустойчивости. Если в линейных системах это условие выполняется для малых амплитуд, то оно будет выполняться для всех амплитуд, и поэтому никакого ограничения амплитуды нет. В нелинейных системах собственная частота является функцией

амплитуды, так что при возрастании амплитуды меняется отношение частоты параметрического возбуждения к собственной частоте. Если в результате достигается предельное значение отношения частот, соответствующее границе области неустойчивости, то движение осциллятора, вообще говоря, асимптотически приближается к периодическому.

Следует, кстати, заметить, что наклон заштрихованной области на рис. 134 зависит от вида характеристики обратной связи в осцилляторе. Рис. 134 относится к математическому маятнику, для которого период колебаний возрастает с увеличением амплитуды. Если рассмотреть характеристику возмущения, у которой период колебаний уменьшается по мере возрастания амплитуды, то область неустойчивости будет наклонена в другую сторону, а именно в сторону возрастания частот. Аналогичное явление наблюдается также при вынужденных колебаниях нелинейных систем.