6.2.4. Фильтры

При помощи рассмотренных в предыдущем разделе методов можно рассчитывать и вынужденные колебания в колебательной цепи. Так как в колебательных цепях свойства избирательности проявляются еще сильнее, чем в простом осцилляторе с одной степенью свободы, эти цепи часто применяют в качестве фильтров, чтобы из смеси возбуждаемых колебаний отфильтровать определенные частоты или определенные интервалы частот.

В качестве примера снова рассмотрим изображенную на рис. 192, а колебательную цепь, однако теперь ее левый конец не закрепляется, а совершает периодическое движение

При этом в уравнениях движения (6.70) для отдельных масс ничего не изменится, и мы можем искать периодическое решение, обладающее такой же частотой, что и возмущение, и происходящее либо в фазе с возмущением, либо в противофазе с ним, положив

    (6.83)

Приведенное выше выражение (6.75) для амплитуды теперь мы запишем так:

Рис. 195. Вспомогательная величина

Нововведенная постоянная дает возможность «подогнать» решение к граничному условию в начале цепи. Величина а не позволяет этого сделать, ибо при подстановке выражения (6.84) в амплитудное соотношение (6.72) выясняется, что зависимость между определяется равенством (6.77). Отличие от соотношения из предыдущего раздела здесь состоит в том, что при исследовании собственных колебаний сначала должна была быть определена как относительная собственная частота, а для вынужденных колебаний, наоборот, — относительная частота возмущения — известна.

Зависимость между а и представлена на рис. 195. Из него видно, что выбранная зависимость (6.84) имеет смысл только для (случай мы рассмотрим ниже) и что в дальнейшем для упрощения вычислений за меру частоты возмущения можно принять

величину а. (Как показывает рис. 195, при величина а примерно пропорциональна величине

При заданных здесь граничных условиях с учетом (6.84) на амплитуды накладываются следующие требования:

из которых находятся постоянные и С:

так что решение (6.83) принимает следующий вид:

Наибольший интерес снова представляют коэффициенты усиления, т. е. отношения амплитуд колебания отдельных масс к амплитуде возмущения. В данном случае коэффициентами усиления являются отношения двух функций синуса в (6.86):

Графики этих выражений как функций величины а в основном соответствуют амплитудным характеристикам. В случае эти графики начинаются при

Величины представляют собой статические отклонения отдельных масс при единичном смещении начала цепи. С ростом порядкового номера массы ее статическое отклонение убывает по линейному закону.

Знаменатель выражения (6.87) обращается в нуль при тех значениях а, которые соответствуют собственным частотам цепи. Это непосредственно вытекает из соотношения (6.76), определяющего собственные частоты. В интересующем нас интервале. существуют нулей знаменателя, а следовательно, и резонансных разрывов амплитудной характеристики. Числитель выражения (6.87) имеет нули при

Поскольку в рассматриваемом интервале должно выполняться неравенство существуют нулей. Таким образом, амплитудная характеристика первой массы цепи имеет нулей. Для

каждой следующей массы один из нулей исчезает, и так происходит до тех пор, пока, наконец, амплитудная характеристика последней массы не будет иметь ни одного нуля.

Для граничной частоты мы имеем так что всегда выполняются равенства

т. е. снова получаются статические отклонения, причем знаки перемещения масс каждый раз меняются. Это указывает на то, что при возмущении с граничной частотой соседние массы цепи всегда колеблются в противофазе.

Но что же будет происходить при частотах возмущения, больших граничной частоты ? В этом случае в выражении (6.84) тригонометрический синус следует заменить синусом гиперболическим и положить

После подстановки этого выражения в уравнение (6.72) снова получается соотношение между а которое теперь принимает вид

Так как это соотношение не может выполняться для действительных значений а, введем

и используем теорему сложения для гиперболических функций, что даст

Также и в этом случае а можно рассматривать как меру величины частоты возмущения.

Две другие постоянные, входящие в выражение (6.89), находятся из граничных условий

и соответственно составляют , что дает

Таким образом, решение теперь принимает вид

Отсюда прежде всего видно, что для всех частот т. е. для всех а, знаки коэффициентов усиления чередуются, и поэтому массы цепи всегда колеблются в противофазе с соседними массами.

Далее можно убедиться в том, что при граничной частоте, когда

коэффициент усиления имеет указанную выше величину (6.88). Из поведения функции гиперболического синуса следует, что в самом общем случае для каждой массы значение коэффициента усиления (т. е. входящий в выражение (6.92) множитель) с увеличением а уменьшается, причем в тем большей мере, чем дальше отстоит масса от начала цепи. Для последней массы цепи коэффициент усиления равен

При достаточно больших эта функция настолько убывает при возрастании частоты, что практически можно говорить о запирании: частоты выше граничной частоты цепью не пропускаются, и она действует как фильтр низких частот.